2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角

本题导读

本题考查面面垂直的性质，以及三棱锥体积。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 如图，在四面体 $ABCD$ 中，平面 $ABC\perp$ 平面 $ACD$，$AB\perp BC$，$AC=AD=2$，$BC=CD=1$.

(1)求四面体 $ABCD$ 的体积；

(2)求二面角 $C-AB-D$ 的平面角的正切值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：面面垂直把 $B$ 到面 $ACD$ 的距离化归为 $B$ 到 $AC$ 的距离
2. 步骤2：建系以 $B$ 为原点
3. 步骤3：二面角两半平面内法向量夹角正切即得

✅【答案】

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(1) $V=\frac{\sqrt{5}}{8}$

(2) 正切值为 $\frac{2\sqrt{15}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）在 $△ABC$ 中，$AB\perp BC$，$AC=2$，$BC=1$，故 $AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{3}$。 因为平面 $ABC\perp$ 平面 $ACD$，交线为 $AC$，$B\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $B$ 到平面 $ACD$ 的距离等于 $B$ 到交线 $AC$ 的距离 $h$。 直角三角形 $ABC$ 斜边 $AC$ 上的高 $h=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $△ACD$ 中，$AC=AD=2$，$CD=1$，$CD$ 边上的高为 $\sqrt{A{C}^2-{\left(\frac{CD}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{2}$， 故 $S_{△ACD}=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{\sqrt{15}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。 所以 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}\cdot h=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{15}}{4}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{24}=\frac{\sqrt{5}}{8}$。 （2）以 $B$ 为原点建系：$BA$ 为 $x$ 轴，$BC$ 为 $y$ 轴，则 $B(0,0,0)$，$A(\sqrt{3},0,0)$，$C(0,1,0)$。 设 $D(x,y,z)$。由平面 $ACD\perp$ 平面 $ABC$，$D$ 到平面 $ABC$ 的距离等于 $D$ 到直线 $AC$ 的距离。 $△ACD$ 中 $AC$ 边上的高 $h_D=\frac{2S_{△ACD}}{AC}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，故 $|z|=\frac{\sqrt{15}}{4}$。 由 $CD=1$：$x^2+(y-1{)}^2+z^2=1$；由 $AD=2$：$(x-\sqrt{3}{)}^2+y^2+z^2=4$。 代入 $z^2=\frac{15}{16}$，得 $x^2+(y-1{)}^2=\frac{1}{16}$，$(x-\sqrt{3}{)}^2+y^2=\frac{49}{16}$。 设 $D$ 在平面 $ABC$ 上的射影为 $D^{\prime }$，则 $|C{D}^{\prime }|=\sqrt{1-z^2}=\frac{1}{4}$，$|A{D}^{\prime }|=\sqrt{4-z^2}=\frac{7}{4}$。 由 $|A{D}^{\prime }|+|C{D}^{\prime }|=2=|AC|$，知 $D^{\prime }$ 在线段 $AC$ 上，且 $|A{D}^{\prime }|=\frac{7}{8}|AC|$， 故 $D^{\prime }=A+\frac{7}{8}(C-A)=\left(\frac{\sqrt{3}}{8},\frac{7}{8},0\right)$，从而 $D=\left(\frac{\sqrt{3}}{8},\frac{7}{8},\frac{\sqrt{15}}{4}\right)$。 二面角 $C-AB-D$ 的棱为 $AB$（$x$ 轴）。 半平面 $ABC$ 内垂直于 $AB$ 的方向取 $n_1=(0,1,0)$； 半平面 $ABD$ 内，$D$ 在垂直于 $AB$ 的平面上的投影向量为 $\left(0,\frac{7}{8},\frac{\sqrt{15}}{4}\right)$。 记两方向夹角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{\frac{7}{8}}{\sqrt{{\left(\frac{7}{8}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2}}=\frac{\frac{7}{8}}{\sqrt{\frac{109}{64}}}=\frac{7}{\sqrt{109}}$。 由 $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{49}{109}}=\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{109}}$，得 $\tan \theta =\frac{\sqrt{60}}{7}=\frac{2\sqrt{15}}{7}$。 故二面角 $C-AB-D$ 的平面角的正切值为 $\frac{2\sqrt{15}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直性质定理（交线垂直到面距离的化归）；三棱锥体积换底；二面角的向量求法。

核心方法：「以线代面」转化距离 → 换底公式求体积 → 建系投影定二面角两半平面内的方向向量。

避坑指南：$D$ 在底面的射影 $D^{\prime }$ 落在 $AC$ 线段上（$|A{D}^{\prime }|=\frac{7}{4}$，$|C{D}^{\prime }|=\frac{1}{4}$），这一步靠两边差解出，若默认 $D^{\prime }$ 是某个现成端点会建错系；二面角取正切时锐角判断依据两向量点积为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直条件下的体积与二面角综合题是立体几何解答题主流题型，2011 浙江文 20、湖北文 18 与本题同框架。

结论推广：本题四面体中 $D$ 到平面 $ABC$ 的高 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 恰是 $△ACD$ 中 $AC$ 边上的高，这正是「面面垂直 ⇒ 高落在交线上」的直接体现；体积也可换成以 $D$ 为顶点、$△ABC$ 为底计算，两底互换结果一致。

方法推广：面面垂直型体积题的标准动作：把顶点到面的距离换成交线上的垂线段；求二面角优先建系，棱在坐标轴上时半平面方向向量取「剔除棱分量」后的投影向量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角
• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积