2011-重庆卷文-21 解-椭圆轨迹与定点定值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与准线，以及向量线性组合的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 如图，椭圆的中心为原点 $O$，离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，一条准线的方程是 $x=2\sqrt{2}$.

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)设动点 $P$ 满足：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$，其中 $M$，$N$ 是椭圆上的点，直线 $OM$ 与 $ON$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，问：是否存在定点 $F$，使得 $|PF|$ 与点 $P$ 到直线 $l:x=2\sqrt{10}$ 的距离之比为定值？若存在，求 $F$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $e$ 与准线联立解出 $a=2$
2. 步骤2：$b=\sqrt{2}$
3. 步骤3：设 $M,N$ 参数坐标
4. 步骤4：代入 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$ 与斜率积条件

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

(2) 存在定点 $F(\sqrt{10},0)$，定值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），焦距 $2c$。 由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得 $c=\frac{a}{\sqrt{2}}$；由准线 $x=\frac{a^2}{c}=2\sqrt{2}$ 得 $a\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，故 $a=2$。 于是 $c=\sqrt{2}$，$b^2=a^2-c^2=2$，椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。 （2）设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则 $x_1^2+2y_1^2=4$，$x_2^2+2y_2^2=4$。 由 $k_{OM}\cdot k_{ON}=-\frac{1}{2}$ 得 $x_1{x}_2+2y_1{y}_2=0$。 设 $P(X,Y)$，由 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$ 得 $X=x_1+2x_2$，$Y=y_1+2y_2$。 计算 $\frac{X^2}{20}+\frac{Y^2}{10}=\frac{(x_1+2x_2{)}^2}{20}+\frac{(y_1+2y_2{)}^2}{10}$ $=\frac{x_1^2+4x_1{x}_2+4x_2^2}{20}+\frac{y_1^2+4y_1{y}_2+4y_2^2}{10}$。 由 $x_1{x}_2=-2y_1{y}_2$，交叉项 $\frac{4x_1{x}_2}{20}+\frac{4y_1{y}_2}{10}=\frac{x_1{x}_2}{5}+\frac{2y_1{y}_2}{5}=0$。 剩余部分 $=\frac{x_1^2+2y_1^2}{20}+\frac{4(x_2^2+2y_2^2)}{20}=\frac{4}{20}+\frac{16}{20}=1$。 故 $P$ 的轨迹为椭圆 $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{10}=1$（$x_1{x}_2+2y_1{y}_2=0$ 自动排除 $OM$ 或 $ON$ 竖直的退化情形，轨迹上的点满足题设）。 该椭圆中 $a^2=20$，$b^2=10$，$c=\sqrt{10}$，其右焦点为 $F(\sqrt{10},0)$，与焦点 $F$ 对应的准线恰为 $x=\frac{a^2}{c}=\frac{20}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$，即直线 $l$。 由椭圆的第二定义，$P$ 到 $F$ 的距离与 $P$ 到 $l$ 的距离之比为离心率 $e=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（定值）。 故存在定点 $F(\sqrt{10},0)$，使得 $|PF|$ 与 $P$ 到直线 $l:x=2\sqrt{10}$ 的距离之比为定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：离心率与准线联立定标准方程；向量线性组合的坐标展开；斜率积条件的代数化 $x_1{x}_2+2y_1{y}_2=0$；椭圆第二定义。

核心方法：「参数点代入 + 交叉项相消」证明轨迹方程 → 识别新轨迹的焦点与准线 → 第二定义收口定值。

避坑指南：本卷官方答案将椭圆印作 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，与题干准线 $x=2\sqrt{2}$（联立必得 $a=2$）矛盾，系分母笔误；且其给出的定点 $F(\sqrt{10},0)$ 与定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 恰与 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 自洽（如取 $M(-\sqrt{2},1)$，$N(\sqrt{2},1)$，则 $P(\sqrt{2},3)$ 满足 $\frac{|PF|}{d}=\frac{\sqrt{2}}{2}$）。解题时交叉项消去依赖 $x_1{x}_2=-2y_1{y}_2$，系数配平错一位即全盘皆错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「斜率积定值 + 向量线性组合 + 定点定值」是重庆卷压轴的传统构型，2012 重庆文 21（椭圆标准方程与面积）、2012 陕西文 20 与本题同属轨迹 + 定值双问结构。

结论推广：推广：对椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若 $k_{OM}\cdot k_{ON}=-\frac{b^2}{a^2}$，则 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\lambda \overrightarrow{ON}$ 给出的 $P$ 轨迹为椭圆 $\frac{x^2}{{\lambda }^2{a}^2+a^2}+\frac{y^2}{{\lambda }^2{b}^2+b^2}=1$？本题对应 $\frac{x^2}{(4+16)}+\frac{y^2}{(2+8)}$，即 $(a^2(1+{\lambda }^2),b^2(1+{\lambda }^2))$ 型，焦点倍增规律可整体记忆。

方法推广：轨迹定值题的通用框架：设参数点 → 把动点坐标用参数表出 → 利用垂直 / 斜率积条件消交叉项 → 得到规则轨迹 → 用第二定义或图形性质回答定点定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-21 解-椭圆标准方程与面积
• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值