2011-陕西卷文-13 填-等式规律归纳推理

本题导读

本题考查归纳推理，以及等差数列求和。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 观察下列等式

$1=1$，$2+3+4=9$，$3+4+5+6+7=25$，$4+5+6+7+8+9+10=49$，$\cdots$.

照此规律，第五个等式应为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：找每个等式的项数、首项与和的规律：第 $n$ 个等式 $n$ 项、从 $n$ 开始、和为 $n$ 项个数的平方

✅【答案】

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$5+6+7+8+9+10+11+12+13=81$

✍【详细解析】

Abstract

逐条观察：第一个等式 $1$ 项，从 $1$ 开始，和为 $1=1^2$；第二个等式 $3$ 项，从 $2$ 开始，和 $9=3^2$；第三个等式 $5$ 项，从 $3$ 开始，和 $25=5^2$；第四个等式 $7$ 项，从 $4$ 开始，和 $49=7^2$。

规律：第 $n$ 个等式有 $2n-1$ 项，从 $n$ 开始到 $3n-2$，各项和为 $(2n-1{)}^2$。

第五个等式（$n=5$）：$9$ 项，从 $5$ 到 $13$，和为 $9^2=81$。

验证：$\frac{(5+13)\times 9}{2}=81$，成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理；连续整数和的表示

核心方法：分别观察”项数、起始数、和”三条线索，统一为第 $n$ 项公式，再取 $n=5$

避坑指南：第五个等式的”项数”是 $9$ 而不是 $5$——项数序列 $1,3,5,7,9$ 是奇数列；和的规律是项数的平方（$81=9^2$），不是 $5^2$ 或 $13^2$；末项 $3n-2$ 别写成 $2n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理等式题与 2013-陕西卷文-13、2012-陕西卷文-12 同族。

结论推广：推广：第 $n$ 个等式为 $n+(n+1)+\cdots +(3n-2)=(2n-1{)}^2$，可用等差数列求和公式 $\frac{[n+(3n-2)](2n-1)}{2}=(2n-1{)}^2$ 严格证明。

方法推广：找规律题：把”起始数、项数（或末项）、和”三条线索各自写成 $n$ 的表达式，互不混用，最后代值验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-13 填-归纳推理等式
• 2012-陕西卷文-12 填-归纳推理不等式