2012-上海卷文-10 填-绝对值约束线性规划

本题导读

本题考查含绝对值的不等式组，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 满足约束条件 $|x|+2|y|⩽2$ 的目标函数 $z=y-x$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

可行域是以 $(\pm 2,0)$、$(0,\pm 1)$ 为顶点的菱形，$z=y-x$ 在 $(2,0)$ 取最小值 $-2$。

✅【答案】

点击查看答案

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

$|x|+2|y|⩽2$ 关于两轴对称，其边界过 $(2,0)$、$(-2,0)$、$(0,1)$、$(0,-1)$，可行域是以这四点为顶点的菱形（含内部）。

线性目标函数在最值点处必为顶点：$z(2,0)=-2$，$z(-2,0)=2$，$z(0,1)=1$，$z(0,-1)=-1$。

故最小值为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含绝对值的线性约束；线性规划的顶点法

核心方法：画对称可行域定顶点，代值比较目标函数

避坑指南：$2|y|⩽2-|x|$ 中 $y$ 的”半径”随 $|x|$ 变化，菱形顶点在 $y$ 轴上是 $\pm 1$ 而非 $\pm 2$；$z=y-x$ 的最小值在 $x$ 最大、$y$ 最小的顶点取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值约束的线性规划题，与 2015 年上海卷文第 9 题、2014 年天津卷文第 2 题同族。

结论推广：$|x|+a|y|⩽c$ 的图象是菱形，顶点 $(\pm c,0)$、$(0,\pm c/a)$；线性目标最值在顶点处取得。

方法推广：含绝对值的约束先去绝对值画对称图形，再按顶点法求最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-09 填-线性规划
• 2014-天津卷文-02 单-线性规划
• 2013-天津卷文-02 单-线性规划最值