2012-北京卷文-12 填-对数运算性质

本题导读

本题考查对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=\lg x$. 若 $f(ab)=1$，则 $f(a^2)+f(b^2)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$f(ab)=1$ 即 $ab=10$，$f(a^2)+f(b^2)=\lg (ab{)}^2=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

$f(ab)=\lg (ab)=1$，故 $ab=10$。

$f(a^2)+f(b^2)=\lg a^2+\lg b^2=\lg (a^2{b}^2)=\lg (ab{)}^2=2\lg (ab)=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的运算性质；整体代换

核心方法：先化条件得 $ab$，再把目标式合并成 $\lg (ab{)}^2$

避坑指南：对数真数须为正：$f(a^2)$、$f(b^2)$ 有意义即 $a,b\ne 0$，本题不影响结果；整体代换 $ab=10$ 比分别求 $a$、$b$ 简洁得多。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数运算填空题，与 2013 年四川卷文第 11 题、2014 年陕西卷文第 12 题同族。

结论推广：一般地，$\lg x^2+\lg y^2=2\lg |xy|$；本题 $ab>0$，故 $=2\lg (ab)$。

方法推广：对数求值先”合”后”代”：把目标和并成一个对数，再整体代入条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-11 填-对数运算
• 2014-陕西卷文-12 填-指对互化