2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $A(2,0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$，$N$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)当 $△AMN$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 $k$ 的值.（本小题共 $14$ 分）

🔍【思路分析】

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（1）$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$；（2）$S=\frac{|k|\sqrt{2(3k^2+2)}}{1+2k^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}$，解得 $k=\pm 1$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

(2)$k=\pm 1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）顶点 $A(2,0)$ 在 $x$ 轴上，故 $a=2$；$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$c^2=a^2\cdot \frac{1}{2}=2$，$b^2=a^2-c^2=2$。

椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。

（2）联立 $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}$：$x^2+2k^2(x-1{)}^2=4$，即 $(1+2k^2)x^2-4k^{2}x+2k^2-4=0$。

判别式 $\Delta =16k^4-4(1+2k^2)(2k^2-4)=24k^2+16>0$，恒有两交点。

$x_1+x_2=\frac{4k^2}{1+2k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{2k^2-4}{1+2k^2}$，$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{8(3k^2+2)}}{1+2k^2}$。

$|MN|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{8(3k^2+2)}}{1+2k^2}$；点 $A(2,0)$ 到直线 $kx-y-k=0$ 的距离 $d=\frac{|2k-k|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}$。

$S=\frac{1}{2}|MN|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{1+k^2}\cdot \sqrt{8(3k^2+2)}}{1+2k^2}\cdot \frac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|k|\sqrt{2(3k^2+2)}}{1+2k^2}$。

令 $S=\frac{\sqrt{10}}{3}$：$\frac{k^2\cdot 2(3k^2+2)}{(1+2k^2{)}^2}=\frac{10}{9}$。设 $u=k^2>0$：$18u(3u+2)=10(1+2u{)}^2$，即 $7u^2-2u-5=0$，$u=1$（$u=-\frac{5}{7}$ 舍）。

故 $k=\pm 1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的基本量；直线与椭圆相交的弦长；点到直线的距离与面积

核心方法：顶点、离心率定方程 → 联立韦达 → 弦长与距离相乘得面积 → 解方程

避坑指南：顶点 $A(2,0)$ 给出 $a=2$ 同时说明焦点在 $x$ 轴；弦长公式中 $\sqrt{1+k^2}$ 与距离公式中的 $\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}$ 恰好相消——先分开写再合并，可减少出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与直线相交的面积问题，与 2013 年北京卷文第 19 题（椭圆与菱形）、2013 年湖南卷文第 20 题（椭圆圆弦长最值）同族。

结论推广：一般地，过椭圆内定点 $P$ 的直线割出的弦与定点到直线距离的乘积型面积，设 $k$ 后利用韦达定理整体代入，最终化为 $k^2$ 的方程。

方法推广：直线与圆锥曲线面积题固定流程：联立 → 判别式 → 韦达 → 弦长 → 距离 → 面积方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形

• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值