2012-四川卷文-16 填-不等式真命题判断

本题导读

本题考查不等式的证明与反例，以及命题真假的判断。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 设 $a$，$b$ 为正实数. 现有下列命题：

①若 $a^2-b^2=1$，则 $a-b<1$；

②若 $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=1$，则 $a-b<1$；

③若 $\left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|=1$，则 $|a-b|<1$；

④若 $\left|a^3-b^3\right|=1$，则 $|a-b|<1$.

其中的真命题有$\underline{}$（写出所有真命题的编号）.

🔍【思路分析】

破题导航

①④正确：①由 $(a-b)(a+b)=1$ 且 $a+b>1$ 得 $a-b<1$；④同理由 $a^2+ab+b^2>1$ 得 $a-b<1$。②③可用反例否定。

✅【答案】

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①④

✍【详细解析】

Abstract

命题①：由 $a^2-b^2=1$ 得 $(a-b)(a+b)=1$。

由 $a^2-b^2=1>0$ 知 $a>b>0$，故 $a+b>1$，于是 $a-b=\frac{1}{a+b}<1$，①正确。

命题②：取 $a=2$，$b=\frac{2}{3}$，则 $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$，但 $a-b=\frac{4}{3}>1$，②错误。

命题③：取 $a=4$，$b=1$，则 $\left|\sqrt{a}-\sqrt{b}\right|=2-1=1$，但 $|a-b|=3>1$，③错误。

命题④：不妨设 $a>b>0$。由 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=1$ 得 $a-b=\frac{1}{a^2+ab+b^2}$。

又 $a^3=b^3+1>1$，故 $a>1$，从而 $a^2+ab+b^2>a^2>1$，于是 $a-b<1$；交换 $a$、$b$ 同理，④正确。

所以真命题是①④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：因式分解与放缩法；命题真假的判定；举反例的技巧

核心方法：真命题把已知等式因式分解出 $a-b$，再用”另一因子大于 $1$“放缩；假命题凑出使等式成立而结论失败的整数对

避坑指南：命题②的反例要同时满足等式与 $a-b>1$ 两个条件，取 $b=\frac{2}{3}$ 是关键（此时 $a-b=\frac{4}{3}$ 刚好越过 $1$）；命题③容易被”开方后差为 $1$，则平方差也不大”的直觉误导，$a=4$、$b=1$ 直接推翻。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：不等式真命题判定题，与 2014 年四川卷文第 15 题、2015 年四川卷文第 15 题同族（四川卷末题常以”多命题判断”形式出现）。

结论推广：$x^n-y^n=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +y^{n-1}\right)$：只要后面的因子大于 $1$，就能把差放大成结论；反之，$n$ 越大该因子越大，“差越小”的结论越容易成立。

方法推广：多命题判断题按”能证则证、难证则举反例”两路处理，反例优先取简单整数或简单分数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题
• 2015-四川卷文-15 填-真命题判定
• 2014-四川卷理-04 单-不等式的比较与证明