2012-四川卷文-20 解-由前n项和求通项与最值

本题导读

本题考查由前项和与项的关系求通项。核心在于作差法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，常数 $\lambda >0$，且 $\lambda a_1{a}_n=S_1+S_n$ 对一切正整数 $n$ 都成立.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)设 $a_1>0$，$\lambda =100$.当 $n$ 为何值时，数列 $\left\{\lg \frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和最大？

🔍【思路分析】

破题导航

（1）令 $n=1$ 得 $a_1=0$ 或 $a_1=\frac{2}{\lambda }$，前者给出全零数列，后者给出 $a_n=\frac{2^n}{\lambda }$；（2）$T_{n+1}-T_n=2-(n+1)\lg 2$ 在 $n=6$ 处变号，故 $n=6$ 时前 $n$ 项和最大。

✅【答案】

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(1)$a_n=0$ 或 $a_n=\frac{2^n}{\lambda }$；(2)$n=6$

✍【详细解析】

Abstract

（1）在 $\lambda a_1{a}_n=S_1+S_n$ 中令 $n=1$，注意 $S_1=a_1$：

$\lambda a_1^2=2a_1$，即 $a_1\left(\lambda a_1-2\right)=0$。

① 若 $a_1=0$，则原等式化为 $S_n=0$，从而 $a_n=0$ 对一切正整数 $n$ 成立。

② 若 $a_1=\frac{2}{\lambda }$，把题中 $n$ 与 $n-1$（$n⩾2$）的等式相减：

$\lambda a_1{a}_n-\lambda a_1{a}_{n-1}=\left(S_1+S_n\right)-\left(S_1+S_{n-1}\right)=a_n$。

又 $\lambda a_1=2$，所以 $2a_n-2a_{n-1}=a_n$，即 $a_n=2a_{n-1}$（$n⩾2$）。

故 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=\frac{2}{\lambda }$、公比 $2$ 的等比数列：

$a_n=\frac{2}{\lambda }\cdot 2^{n-1}=\frac{2^n}{\lambda }$。

综上，通项为 $a_n=0$，或 $a_n=\frac{2^n}{\lambda }$。

（2）由 $a_1>0$ 可知取上述第二种情形。当 $\lambda =100$ 时 $a_k=\frac{2^k}{100}$，于是

$\lg \frac{1}{a_k}=\lg \frac{100}{2^k}=2-k\lg 2$。

设前 $n$ 项和为 $T_n$，则

$T_n=\sum _{k=1}^n\left(2-k\lg 2\right)=2n-\frac{n(n+1)}{2}\lg 2$。

考察相邻两项之差：

$T_{n+1}-T_n=2-(n+1)\lg 2$（$T_{n+1}-T_n$ 恰为第 $n+1$ 项本身）。

由 $2^6=64<100<128=2^7$ 得 $6\lg 2<2<7\lg 2$，即 $\frac{2}{\lg 2}\in (6,7)$。

所以当 $n⩽5$ 时 $T_{n+1}-T_n>0$（数列递增），当 $n⩾6$ 时 $T_{n+1}-T_n<0$（数列递减）。

因此 $T_n$ 在 $n=6$ 时取得最大值，即 $n=6$ 时该数列的前 $n$ 项和最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由 $S_n$ 与 $a_n$ 的混合关系求通项（作差法）；对数运算；数列最值的”邻项比较法”

核心方法：令 $n=1$ 先定首项（并注意可能的多解），再用 $n$ 与 $n-1$ 两式相减消去 $S_n$；最值靠 $T_{n+1}-T_n$ 的符号变化判定

避坑指南：（1）中 $a_1=0$ 的情形不能遗漏，通项有两种可能，须分类讨论；（2）中 $a_n=2^n/100$ 与 $\lg$ 的底数为 $10$ 是两回事，$\lg 100=2$ 与 $2^k$ 无关，别把 $\lg 2^k$ 写成 $k$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列通项与最值综合题，与 2012 年广东卷文第 19 题、2014 年浙江卷理第 19 题同族。

结论推广：数列 $\{T_n\}$ 的最值由 $T_{n+1}-T_n$ 的符号决定：先增后减则最大值在变号处取得；若 $T_{n+1}-T_n$ 由正变负跨越若干个 $n$，须逐项检验。

方法推广：凡含 $S_n$ 的递推关系：写 $n$ 与 $n-1$ 两式相减，是消去 $S_n$ 得到 $a_n$ 递推的通用手段（注意 $n⩾2$ 的条件）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-19 解-由前n项和求通项
• 2014-浙江卷理-19 解-通项公式与性质
• 2013-陕西卷理-17 解-等比数列前n项和推导