2012-天津卷文-19 解-椭圆离心率与斜率

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于联立法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），点 $P\left(\frac{\sqrt{5}}{5}a,\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)$ 在椭圆上.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设 $A$ 为椭圆的左顶点，$O$ 为坐标原点. 若点 $Q$ 在椭圆上且满足 $|AQ|=|AO|$，求直线 $OQ$ 的斜率的值.

🔍【思路分析】

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代入点 $P$ 得 $b^2=\frac{5}{8}{a}^2$，$e=\frac{\sqrt{6}}{4}$；$|AQ|=|AO|$ 给出圆方程，联立解得 $x_Q=-\frac{a}{3}$，$k=\pm \sqrt{5}$。

✅【答案】

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(1)$e=\frac{\sqrt{6}}{4}$；(2)$k=\pm \sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）将 $P$ 代入椭圆方程：$\frac{{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}a\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2}{b^2}=1$，即 $\frac{1}{5}+\frac{a^2}{2b^2}=1$，得 $\frac{a^2}{b^2}=\frac{8}{5}$，$b^2=\frac{5}{8}{a}^2$。

$c^2=a^2-b^2=\frac{3}{8}{a}^2$，故 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。

（2）$A(-a,0)$，$|AO|=a$。设 $Q(x,y)$，由 $|AQ|=a$ 得 $(x+a{)}^2+y^2=a^2$ ①。

由椭圆方程 $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=\frac{5a^2}{8}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ ②。

②代入①：$(x+a{)}^2+\frac{5a^2}{8}\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)=a^2$。令 $u=\frac{x}{a}$，化简得 $3u^2+16u+5=0$，解得 $u=-\frac{1}{3}$ 或 $u=-5$（舍去，$|u|⩽1$）。

故 $x=-\frac{a}{3}$，代入②得 $y^2=\frac{5a^2}{8}\times \frac{8}{9}=\frac{5a^2}{9}$，$y=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}a$。

直线 $OQ$ 的斜率 $k=\frac{y}{x}=\frac{\pm \frac{\sqrt{5}}{3}a}{-\frac{a}{3}}=\mp \sqrt{5}$，即 $k=\pm \sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆上点的代入检验；离心率公式；椭圆与圆的交点

核心方法：代点定 $a:b$ 求离心率；距离条件与椭圆方程联立解点坐标

避坑指南：$u=-5$ 超出椭圆横坐标范围必须舍去；$|AQ|=|AO|$ 表示 $Q$ 在以 $A$ 为圆心、$a$ 为半径的圆上；$Q$ 的纵坐标可正可负，斜率有两个值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与圆的交点定斜率题，与 2014 年天津卷文第 18 题、2015 年天津卷文第 19 题同族。

结论推广：$|AQ|=|AO|$（$A$ 为左顶点）的轨迹是圆 $(x+a{)}^2+y^2=a^2$，与椭圆联立常化为关于 $\frac{x}{a}$ 的一元二次方程。

方法推广：圆锥曲线求点或斜率：设点 → 两个几何条件 → 消元得方程 → 解并按范围取舍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-18 解-椭圆离心率
• 2015-天津卷文-19 解-椭圆定比
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量