2012-安徽卷文-05 单-等比数列中项性质

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及通项公式的应用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(文)） 公比为 $2$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的各项都是正数，且 $a_3{a}_{11}=16$，则 $a_5=$()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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$a_7^2=a_3{a}_{11}=16$，$a_7=4$，$a_5=\frac{a_7}{q^2}=\frac{4}{4}=1$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

等比数列中 $a_3{a}_{11}=a_7^2$（下标和 $3+11=7+7=14$）。

各项为正，故 $a_7=4$。

$a_5=a_7\cdot q^{5-7}=\frac{a_7}{q^2}=\frac{4}{4}=1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列性质 $a_m{a}_n=a_k^2$（$m+n=2k$）；逐项递推 $a_n=a_m{q}^{n-m}$

核心方法：用等比中项把条件集中到 $a_7$，再向 $a_5$ 回退两项

避坑指南：$a_7^2=16$ 开方有 $\pm 4$，“各项都是正数”这一条件负责舍去 $-4$；$a_5$ 是 $a_7$ 往前两项，应除以 $q^2$ 而不是乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列性质求项题，与 2012 年广东卷文第 12 题、2012 年辽宁卷文第 14 题同族。

结论推广：等比数列中 $a_m\cdot a_n=a_k\cdot a_l⟺m+n=k+l$；$a_n=a_m{q}^{n-m}$ 对任意下标成立。

方法推广：等比数列”知两项积求另一项”：先凑等比中项定一项，再用 $q^{n-m}$ 平移下标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质
• 2012-辽宁卷文-14 填-等比数列公比
• 2012-江西卷文-13 填-等比数列递推定公比