2012-山东卷文-11 单-双曲线渐近线与抛物线焦点

本题导读

本题考查双曲线的离心率与渐近线，以及抛物线的焦点。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 已知双曲线 $C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的离心率为 $2$，若抛物线 $C_2:x^2=2py$（$p>0$）的焦点到双曲线 $C_1$ 的渐近线的距离为 $2$，则抛物线 $C_2$ 的方程为()

A. $x^2=\frac{8\sqrt{3}}{3}y$　　　　B. $x^2=\frac{16\sqrt{3}}{3}y$　　　　C. $x^2=8y$　　　　D. $x^2=16y$

🔍【思路分析】

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$e=2$ 得 $b=\sqrt{3}a$，渐近线 $\sqrt{3}x\pm y=0$，焦点 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$ 到渐近线距离 $\frac{p}{4}=2$，故 $p=8$，抛物线为 $x^2=16y$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $e=\frac{c}{a}=2$ 得 $c^2=4a^2$，又 $c^2=a^2+b^2$，故 $b^2=3a^2$，即 $b=\sqrt{3}a$。

于是渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \sqrt{3}x$，即 $\sqrt{3}x-y=0$ 与 $\sqrt{3}x+y=0$。

抛物线 $x^2=2py$ 的焦点为 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$。

它到渐近线 $\sqrt{3}x-y=0$ 的距离为 $\frac{\left|\sqrt{3}\times 0-\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{p/2}{2}=\frac{p}{4}$。

由 $\frac{p}{4}=2$ 得 $p=8$，故 $C_2$ 的方程为 $x^2=16y$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的离心率与渐近线；抛物线的焦点坐标；点到直线的距离公式

核心方法：由离心率推出 $b$ 与 $a$ 的关系写出渐近线，再用距离公式建立关于 $p$ 的方程

避坑指南：$c^2=a^2+b^2$，由 $e=2$ 得 $b^2=3a^2$（别写成 $b=a$）；$x^2=2py$ 的焦点是 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$，不是 $(0,p)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线与抛物线交汇题，与 2013 年山东卷文第 11 题、2013 年福建卷文第 4 题同族。

结论推广：双曲线 $e=\frac{c}{a}$，$c^2=a^2+b^2$，渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$；$x^2=2py$ 的焦点为 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$，准线 $y=-\frac{p}{2}$。

方法推广：圆锥曲线的”距离”条件题：先用基本量写出方程，再用距离（或弦长）公式把条件化为方程解参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-11 单-抛物线与渐近线切线
• 2013-山东卷理-11 单-抛物线性质
• 2013-福建卷文-04 单-双曲线渐近线距离