2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 复数 $z=\frac{-3+i}{2+i}$ 的共轭复数是()

A. $2+i$　　　　　　B. $2-i$　　　　　　C. $-1+i$　　　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

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$z=\frac{(-3+i)(2-i)}{5}=-1+i$，共轭为 $-1-i$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{(-3+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{-6+3i+2i-i^2}{5}=\frac{-5+5i}{5}=-1+i$。

故 $\bar{z}=-1-i$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法（分母实数化）；共轭复数的概念

核心方法：分子分母同乘共轭 $2-i$，整理成 $a+bi$

避坑指南：虚部符号别错：$(-3+i)(2-i)$ 中 $3i$ 与 $-(-i)$ 的交叉项为 $+3i+2i$；共轭只变虚部符号，实部不动。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法与共轭入口题，与 2013 年新课标Ⅰ理第 2 题同族（理考模与共轭的混合运算）。

结论推广：一般地，$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$，先写共轭再展开最稳。

方法推广：复数除法口诀”分母实数化”，共轭复数题先化简再取共轭，避免直接对繁分式取共轭出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-04 单-复数象限
• 2013-天津卷文-09 填-复数乘法