2012-新课标卷文-11 单-指对恒成立

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质，以及指数函数。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 当 $0<x⩽\frac{1}{2}$ 时，$4^x<{\log }_{a}x$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$　　　　B. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$　　　　C. $(1,\sqrt{2})$　　　　D. $(\sqrt{2},2)$

🔍【思路分析】

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由 $x=\frac{1}{2}$ 时 $2<{\log }_a\frac{1}{2}$ 知 $0<a<1$ 且 $\frac{1}{2}<a^2$，得 $a\in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

当 $0<x⩽\frac{1}{2}$ 时 $4^x>0$，故须 ${\log }_{a}x>0$。由 $0<x<1$，得 $0<a<1$（底小于 $1$ 时 ${\log }_{a}x$ 在 $x<1$ 为正）。

此时 ${\log }_{a}x$ 单调递减，$x⩽\frac{1}{2}$ 时最小值在 $x=\frac{1}{2}$ 取得：${\log }_a\frac{1}{2}$；而 $4^x$ 递增，最大值 $4^{\frac{1}{2}}=2$。

故只需 ${\log }_a\frac{1}{2}>2={\log }_a{a}^2$。由 $0<a<1$ 时 ${\log }_a$ 递减：$\frac{1}{2}<a^2$，即 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$。

综上 $a\in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数与对数函数的单调性；恒成立（不等式恒成立转化）

核心方法：最值控制：增函数取最大、减函数取最小，对齐端点比较

避坑指南：①”较小范围内恒小于”只需比较两端点组合（左端取 $4^x$ 最小处、右端取 $\log$ 最小处）；②$0<a<1$ 时 ${\log }_{a}m>{\log }_{a}n⟺m<n$，不等号方向要翻转。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对混合不等式恒成立，与 2013 年新课标Ⅱ文第 8 题（对数比较大小）同族，也衔接 2013 年新课标Ⅰ文第 12 题的恒成立思想。

结论推广：一般地，$f(x)<g(x)$ 在 $I$ 上恒成立 $⟺f(x{)}_{\max }<g(x{)}_{\min }$（当两者单调时只看端点）。

方法推广：单调函数的恒成立问题：先定各函数增减，再把”恒成立”压缩成端点不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小
• 2013-四川卷文-11 填-对数运算