2012-江苏卷-12 填-直线与圆的公共点

本题导读

本题考查圆与圆的位置关系，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-8x+15=0$，若直线 $y=kx-2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心、$1$ 为半径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $k$ 的最大值是　　.

🔍【思路分析】

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$\frac{|4k-2|}{\sqrt{k^2+1}}⩽2$ 化为 $4k(3k-4)⩽0$，故 $k$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

将圆 $C$ 的方程配方，得 $(x-4{)}^2+y^2=1$，所以圆心为 $C(4,0)$，半径为 $1$。

设直线 $y=kx-2$ 上的点为 $Q$。以 $Q$ 为圆心、半径为 $1$ 的圆与 $C$ 有公共点，当且仅当两圆心的距离不超过两个半径之和，即 $QC⩽2$。

因此，直线 $y=kx-2$ 到点 $C$ 的距离不超过 $2$。由点到直线的距离公式，得到 $\frac{|4k-2|}{\sqrt{k^2+1}}⩽2$。

两边平方并化简，得 $(4k-2{)}^2⩽4(k^2+1)$，即 $4k(3k-4)⩽0$，所以 $0⩽k⩽\frac{4}{3}$，故 $k$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两圆有公共点的条件（圆心距与半径和差比较）；“直线上存在点”到”距离不等式”的转化

核心方法：把存在性问题转化为圆心到直线的距离约束，平方化简解不等式

避坑指南：两圆有公共点的临界条件是 $QC⩽1+1=2$（外切或相交均可），不是 $QC=1$；平方去绝对值时注意 $k⩾0$ 这一半解集不要丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的存在性公共点题，与 2012 年安徽卷文第 9 题、2013 年陕西卷文第 8 题同族。

结论推广：“直线上存在点使 $Q$ 满足 $QC⩽r$” $⟺$ 直线与圆 $C^{\prime }$（圆心 $C$、半径 $r$）有公共点；这是一类可反复套用的转化模型。

方法推广：动圆存在性问题：先定圆心与半径 → 写出圆心距条件 → 化为点线距离不等式 → 平方解出参数范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-09 单-直线与圆位置关系定参
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系
• 2014-北京卷文-07 单-两圆公共点