2012-浙江卷文-07 单-向量模与共线

本题导读

本题考查向量的模，以及向量共线的条件。

📌【题干】

Question

（2012年浙江卷(文)） 设 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是()

A. 若 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$，则 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$

B. 若 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$

C. 若 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$，则存在实数 $\lambda$，使得 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$

D. 若存在实数 $\lambda$，使得 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$

🔍【思路分析】

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$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$ 平方后得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，即反向共线，故存在 $\lambda <0$ 使 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对条件 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$（右边非负，隐含 $|\mathbf{a}|⩾|\mathbf{b}|$），两边平方：

$|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，故 $\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=-1$，$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 反向共线。

于是存在 $\lambda <0$ 使 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$，C 为真命题。

对 A、B：$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 时 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2}>||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||$，两边都不成立。

对 D：$\lambda >0$ 时（同向）$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|\ne |\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$，不成立。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量加法的模；数量积与夹角；共线向量定理

核心方法：对模等式平方化为数量积等式，读出夹角，再用共线向量定理判断

避坑指南：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|$ 成立当且仅当 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 反向（且 $|\mathbf{a}|⩾|\mathbf{b}|$），不是垂直；$\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$ 中 $\lambda$ 可正可负，$\lambda >0$ 时模的关系完全不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模与共线综合判断题，与 2013 年山东卷文第 15 题、2014 年江西卷理第 15 题同族。

结论推广：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||⟺\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 反向共线；$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|⟺$ 同向共线。

方法推广：含模等式的向量题，先平方展开、再用 $\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$ 的值定位几何关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参
• 2014-江西卷理-15 填-数量积定义与性质
• 2014-上海卷理-16 单-数量积的几何意义