2012-湖北卷文-07 单-保等比数列新定义

本题导读

本题考查等比数列的定义，以及新定义函数。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 定义在 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上的函数 $f(x)$，如果对于任意给定的等比数列 $\{a_n\}$，$\{f(a_n)\}$ 仍是等比数列，则称 $f(x)$ 为”保等比数列函数”. 现有定义在 $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ 上的如下函数：

① $f(x)=x^2$；　② $f(x)=2^x$；　③ $f(x)=\sqrt{|x|}$；　④ $f(x)=\ln |x|$.

则其中是”保等比数列函数”的 $f(x)$ 的序号为()

A. ①②　　　　　　　B. ③④　　　　　　　C. ①③　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

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$f(a_n)=a^2{q}^{2n}$ 与 $\sqrt{a}(\sqrt{q}{)}^n$ 仍是等比数列，②④不是，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $a_n=a{q}^n$（$a\ne 0$，$q>0$）。

① $f(a_n)=a^2{q}^{2n}=a^2(q^2{)}^n$，是首项 $a^2{q}^2$、公比 $q^2$ 的等比数列，符合；

② $f(a_n)=2^{a{q}^n}$，相邻两项之比 $2^{a{q}^{n+1}-a{q}^n}$ 随 $n$ 变化，不是常数，不符合；

③ $f(a_n)=\sqrt{|a|q^n}=\sqrt{|a|}\cdot (\sqrt{q}{)}^n$，是等比数列，符合；

④ $f(a_n)=\ln |a|+n\ln q$，是等差数列而非等比数列（公比不为常数），不符合。

故符合条件的是①③，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的定义（后项与前项之比为定值）；幂运算与对数运算的性质

核心方法：设出通项 $a_n=a{q}^n$，把 $f(a_n)$ 化成 $c\cdot r^n$ 形式即可判定

避坑指南：④算出的 $\ln |a|+n\ln q$ 是等差结构，相邻项之差为常数而不是之比为常数，容易被”看着规整”而误判；②的指数上带着 $q^n$，比值随 $n$ 变化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义函数与数列综合题，与 2013 年福建卷文第 16 题、2013 年辽宁卷文第 12 题同族。

结论推广：幂函数型 $f(x)=x^k$（$k$ 为非零常数）保等比：$f(a{q}^n)=a^k(q^k{)}^n$；对数函数把等比数列变成等差数列。

方法推广：新定义题第一步是”翻译定义”：保等比即 $f(a{q}^n)$ 能写成 $c\cdot r^n$，幂运算保留指数结构，对数运算破坏指数结构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-16 填-保序同构新定义
• 2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值
• 2014-四川卷文-15 填-新定义真命题