2012-湖北卷文-20 解-等差数列与绝对值求和

本题导读

本题考查等差数列的通项。核心在于分段讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 前三项的和为 $-3$，前三项的积为 $8$.

(1)求等差数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)若 $a_2$，$a_3$，$a_1$ 成等比数列，求数列 $\{|a_n|\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_2=-1$，$a_1{a}_3=-8$ 得 $d=\pm 3$，$a_n=3n-7$ 或 $a_n=-3n+5$；只有 $a_n=3n-7$ 使 $a_2,a_3,a_1$ 成等比，$|a_n|$ 的前 $n$ 项和需按 $n=1$ 与 $n⩾2$ 分段。

✅【答案】

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(1)$a_n=3n-7$ 或 $a_n=-3n+5$；(2)$S_n=4$（$n=1$）；$S_n=\frac{3}{2}{n}^2-\frac{11}{2}n+10$（$n⩾2$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）设等差数列的公差为 $d$，则 $a_1+a_2+a_3=3a_2=-3$，得 $a_2=-1$。

于是 $a_1=-1-d$，$a_3=-1+d$，由 $a_1{a}_2{a}_3=8$ 得 $a_1{a}_3=-8$，即 $(-1-d)(-1+d)=1-d^2=-8$，故 $d^2=9$，$d=\pm 3$。

当 $d=3$ 时，$a_1=-4$，$a_n=-4+3(n-1)=3n-7$；

当 $d=-3$ 时，$a_1=2$，$a_n=2-3(n-1)=-3n+5$。

（2）若 $a_2$，$a_3$，$a_1$ 成等比数列，则 $a_3^2=a_2{a}_1$。

当 $a_n=-3n+5$ 时，$a_1=2$，$a_2=-1$，$a_3=-4$，$a_3^2=16$ 而 $a_2{a}_1=-2$，不成立；

当 $a_n=3n-7$ 时，$a_1=-4$，$a_2=-1$，$a_3=2$，$a_3^2=4=a_2{a}_1$，成立。

故 $a_n=3n-7$，此时 $|a_1|=4$，$|a_2|=1$，当 $n⩾3$ 时 $a_n=3n-7>0$。

当 $n=1$ 时，$S_1=4$；

当 $n⩾2$ 时，$S_n=4+1+\sum _{k=3}^n(3k-7)=5+3\left[\frac{n(n+1)}{2}-3\right]-7(n-2)=\frac{3n(n+1)}{2}-7n+10=\frac{3}{2}{n}^2-\frac{11}{2}n+10$。

综上，$S_n=\{\begin{array}{ll}4,& n=1,\\ \frac{3}{2}{n}^2-\frac{11}{2}n+10,& n⩾2.\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量运算；等比中项的条件；含绝对值的分段求和

核心方法：用 $3a_2=-3$ 先定中间项，再用积定公差；$|a_n|$ 求和先找变号点，分段后用 $S_n=S_1+\sum (a_k)$ 拼接

避坑指南：两组解都要检验第（2）问的条件，只有 $a_n=3n-7$ 满足 $a_3^2=a_2{a}_1$；分段和从 $n=2$ 起才成立（公式在 $n=1$ 处给 $6$ 而非 $4$），必须单独写 $n=1$ 的情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列与绝对值求和题，与 2013 年浙江卷文第 19 题、2014 年四川卷理第 19 题同族。

结论推广：等差数列前三项之和为 $3a_2$；含绝对值的求和在变号项处分段，通项 $a_n=pn+q$ 变号点为 $n_0=-\frac{q}{p}$ 附近。

方法推广：“和与积定数列”先用对称性（中间项）化简，再解公差；绝对值求和务必验证分段点，把 $n=1$ 单列。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-19 解-等差与绝对值求和
• 2014-四川卷理-19 解-等差数列的通项与前 n 项和
• 2014-天津卷理-11 填-等差数列的通项与前n项和