2012-福建卷文-03 单-向量垂直充要条件

本题导读

本题考查向量垂直的充要条件，以及平面向量的数量积。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(x-1,2)$，$\mathbf{b}=(2,1)$，则 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 的充要条件是()

A. $x=-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $x=-1$　　　　　　C. $x=5$　　　　　　D. $x=0$

🔍【思路分析】

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$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺2(x-1)+2\times 1=0$，解得 $x=0$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，即 $2(x-1)+2\times 1=0$。

解得 $2x-2+2=0$，$x=0$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

核心方法：坐标形式下直接展开数量积并解一元一次方程

避坑指南：数量积是”对应坐标乘积之和”：$2(x-1)+2\times 1$，别把第二对写成 $2\times 2$；垂直与平行的判定条件不要混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直求参题，与 2013 年山东卷文第 15 题、2013 年重庆卷文第 14 题同族。

结论推广：$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$，$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$：$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。

方法推广：含参垂直（平行）问题都归结为”数量积为零（交叉积相等）“的方程，解完代回验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参
• 2013-重庆卷文-14 填-矩形向量垂直
• 2013-大纲卷文-12 单-抛物线与向量垂直