2012-福建卷文-08 单-正弦函数对称轴

本题导读

本题考查正弦函数的图象与性质，以及对称轴。

📌【题干】

Question

（2012年福建卷(文)） 函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的图象的一条对称轴是()

A. $x=\frac{\pi }{4}$　　　　　　B. $x=\frac{\pi }{2}$　　　　　　C. $x=-\frac{\pi }{4}$　　　　　　D. $x=-\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，得 $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi$，取 $k=-1$ 得 $x=-\frac{\pi }{4}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$y=\sin X$ 的图象关于直线 $X=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 对称。

令 $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi$，解得 $x=\frac{3\pi }{4}+k\pi$，$k\in \mathbf{Z}$。

取 $k=-1$ 得 $x=-\frac{\pi }{4}$；取 $k=0$ 得 $x=\frac{3\pi }{4}$。

对照选项，$x=-\frac{\pi }{4}$ 符合，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数对称轴的求法

核心方法：整体代换：令括号内整体等于 $\frac{\pi }{2}+k\pi$

避坑指南：正弦的对称轴处函数值取 $\pm 1$（不是零点！），$x=\frac{\pi }{4}$ 处 $\sin 0=0$ 是对称中心而非对称轴；可代值快速验证 $f\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数对称轴题，与 2013 年福建卷文第 9 题、2013 年湖北卷文第 6 题同族。

结论推广：$y=\sin x$ 的对称轴为 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$，对称中心为 $(k\pi ,0)$。

方法推广：对称轴（中心）问题都化为”相位 = 特征值 + $k\pi$“再解出自变量，最后与选项比对。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-09 单-三角图象平移
• 2013-湖北卷文-06 单-三角图象平移对称
• 2014-重庆卷文-13 填-三角图象变换