2012-辽宁卷文-05 单-全称命题的否定

本题导读

本题考查全称命题的否定，以及含量词命题的否定规则。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 已知命题 $p$：$\forall x_1,x_2\in \mathbf{R}$，$(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)⩾0$，则 $\neg p$ 是()

A. $\exists x_1,x_2\in \mathbf{R}$，$(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)⩽0$

B. $\forall x_1,x_2\in \mathbf{R}$，$(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)⩽0$

C. $\exists x_1,x_2\in \mathbf{R}$，$(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$

D. $\forall x_1,x_2\in \mathbf{R}$，$(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$

🔍【思路分析】

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$\neg p$：$\exists x_1,x_2\in \mathbf{R}$，$(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$，故选 C

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

全称命题 $p$：$\forall x\in M$，$q(x)$ 的否定是 $\neg p$：$\exists x\in M$，$\neg q(x)$。

本题中结论 $(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)⩾0$ 的否定是 $(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$。

所以 $\neg p$：$\exists x_1,x_2\in \mathbf{R}$，$(f(x_2)-f(x_1))(x_2-x_1)<0$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称命题与存在命题的否定；不等号 $⩾$ 的否定是 $<$

核心方法：“改量词、否结论”两步：$\forall \to \exists$，$⩾\to <$

避坑指南：$⩾$ 的否定是 $<$，不是 $⩽$（（A）（B）正是错在这里）；同时量词必须由 $\forall$ 改为 $\exists$，只改不等号不改量词也不对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含量词命题的否定题，与 2012 年湖北卷文第 4 题、2013 年四川卷文第 4 题同族。

结论推广：$\neg (\forall x,p(x))=\exists x,\neg p(x)$；$\neg (⩾)=<$，$\neg (⩽)=>$，$\neg (=)\ne$。

方法推广：写命题的否定先分清量词类型，再对结论整体取否定，两步缺一不可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2012-湖北卷文-04 单-命题的否定
• 2013-四川卷文-04 单-全称命题否定
• 2012-湖南卷文-03 单-逆否命题