2013-上海卷文-01 填-分式不等式

本题导读

本题考查分式不等式，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 不等式 $\frac{x}{2x-1}<0$ 的解为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母 $2x-1\ne 0$ 由严格不等号自动保证。
2. $\frac{x}{2x-1}<0$ ⇔ 分子分母异号 ⇔ $x(2x-1)<0$。
3. 两根 $0$ 与 $\frac{1}{2}$，开口向上，取两根之间。

✅【答案】

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$0<x<\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

分式 $\frac{x}{2x-1}<0$ 等价于分子与分母异号，即 $x(2x-1)<0.$ 二次函数 $y=x(2x-1)$ 开口向上，两根为 $x=0$ 与 $x=\frac{1}{2}$，故其小于零的解在两根之间： $0<x<\frac{1}{2}.$ （此时分母 $2x-1<0\ne 0$，无需另验。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式的解法（化商为积）

核心方法：$\frac{x}{2x-1}<0$ 等价于 $x(2x-1)<0$，二次函数开口向上、两根 $0$ 与 $\frac{1}{2}$ → $0<x<\frac{1}{2}$

避坑指南：分式化积的前提是分母不为零：本题 $2x-1\ne 0$ 已被严格不等号吸收，但若题目给 $⩽$，必须补验分母零点；另除以 $2$ 时别忘变号方向只与除数的符号有关

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：上海卷填空题第一题的传统热身位：分式不等式，与 2013 江西文 6 的”分式不等式链”同型。

结论推广：凡 $\frac{f(x)}{g(x)}<0$（$g$ 不恒为零），一律等价转化为 $f(x)g(x)<0$，再对二次（或高次）因式用序轴标根。

方法推广：序轴标根法处理高次分式不等式：先移项通分成一边为零，再标根穿线；切勿两边同乘分母——分母符号未知。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链
• 2013-大纲卷文-04 单-绝对值不等式
• 2013-安徽卷文-11 填-函数定义域