2013-四川卷文-08 单-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩽8,\\ 2y-x⩽4,\\ x⩾0,\\ y⩾0,\end{array}$ 且 $z=5y-x$ 的最大值为 $a$，最小值为 $b$，则 $a-b$ 的值是()

A. $48$　　　　　　　B. $30$　　　　　　　C. $24$　　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

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1. 顶点：$(0,0)$，$(8,0)$，$(0,2)$，$(4,4)$。
2. $z$ 值依次 $0$，$-8$，$10$，$16$。
3. $a=16$，$b=-8$，$a-b=16-(-8)=24$ → C。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

画可行域：四条边界 $x+y=8$，$2y-x=4$，$x=0$，$y=0$ 围成的区域，顶点为 $(0,0),(8,0),(0,2),(4,4).$ 其中 $(4,4)$ 由 $\{\begin{array}{l}x+y=8\\ 2y-x=4\end{array}$ 联立而得，$(0,2)$ 由 $x=0$ 与 $2y-x=4$ 而得。 逐顶点计算 $z=5y-x$： $z(0,0)=0,z(8,0)=-8,z(0,2)=10,z(4,4)=16.$ 故 $a=16$，$b=-8$， $a-b=16-(-8)=24.$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的目标函数最值

核心方法：顶点 $(0,0),(8,0),(4,4),(0,2)$；$z=5y-x$ 依次 $0,-8,16,10$ → $a=16$，$b=-8$ → $a-b=24$ → C

避坑指南：$a$、$b$ 分别是 $z$ 的最大、最小值：最大值在 $(4,4)$（$y$ 大 $x$ 小），最小值在 $(8,0)$（$x$ 大 $y$ 小）；作差时 $b$ 的负号丢了会误算成 $16-8=8$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二元一次不等式组与线性目标函数。

结论推广：画可行域定顶点；顶点代入比较。

方法推广：联立边界求顶点 → 逐顶点算 $z$ → 取最值作差。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-安徽卷文-12 填-线性规划非负
• 2013-广东卷文-13 填-线性规划最值