2013-四川卷理-07 单-定义域

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及定义域。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 函数 $y=\frac{x^3}{3^x-1}$ 的图象大致是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析定义域：
   • 分母不能为零，即 $3^x-1\ne 0⟹x\ne 0$。
   • 这意味着图象在 $x=0$ 处应该是断开的，没有定义。
   • 观察图象：选项 A 图象经过原点，排除 A。
2. 分析正负性（符号）：
   • 当 $x<0$ 时：分子 $x^3<0$，分母 $3^x-1<0$（因为 $3^x<1$）。
   • 此时 $y=\frac{\text{负}}{\text{负}}>0$。
   • 观察图象：选项 B 在 $y$ 轴左侧图象位于 $x$ 轴下方（值为负），排除 B。
3. 分析趋向无穷大时的极限：
   • 当 $x\to +\infty$ 时，分子是三次幂函数 $x^3$，分母是指数函数 $3^x$。
   • 根据增长速率规律，指数函数的增长速度远快于幂函数。
   • 因此当 $x\to +\infty$ 时，$y\to 0$。图象应该无限趋近于 $x$ 轴。
   • 观察图象：选项 D 在 $x\to +\infty$ 时持续上升趋向无穷，排除 D。选项 C 符合趋近于 0 的特征。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定定义域与排除 A 函数 $f(x)=\frac{x^3}{3^x-1}$，分母 $3^x-1=0$ 时 $x=0$。 所以函数定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$。 图象 A 描绘了函数经过坐标原点，即 $f(0)=0$，与定义域矛盾，排除 A。

第二步：分析区间正负性与排除 B 考虑 $x<0$ 的情况： 由于 $x<0$，则 $x^3<0$。 同时 $3^x<3^0=1$，所以分母 $3^x-1<0$。 则当 $x<0$ 时，$f(x)=\frac{\text{负}}{\text{负}}>0$。 图象 B 在 $y$ 轴左侧部分位于第四象限，其值为负，排除 B。

第三步：分析远端趋势与排除 D 考虑 $x\to +\infty$ 的情况： 虽然分子分母都趋向于 $+\infty$，但分母是底数大于 1 的指数函数，其增长速度量级高于幂函数。 利用极限知识（或增长速率比较）：${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^3}{3^x-1}=0$。 这意味着在第一象限，随着 $x$ 的增大，图象在经历一段波动后最终应无限靠近 $x$ 轴。 图象 D 显示 $x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$，排除 D。

综上所述，只有图象 C 符合所有特征。

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：利用函数的“性质组合”锁定图象轮廓。

核心方法：“多想少算”。对于这类选择题，不需要去求导找极值点，而是通过： - ① 定义域 - ② 奇偶性（本题非奇非偶） - ③ 正负号 - ④ 特殊值/极限 这四招基本能解决 90% 的图象识别题。

避坑指南：容易在 $x\to 0$ 时产生错觉。实际上当 $x\to 0$ 时，利用等价无穷小 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^3}{3^x-1}={\lim }_{x\to 0}\frac{x^3}{x\ln 3}=0$，虽然 $x=0$ 处无定义，但图象在原点处有一个“空心点”趋势。选项 C 很好地体现了这种靠近原点但左侧为正的特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：洛必达法则（用于求 $x\to 0$ 或 $x\to \infty$ 的精确极限）、幂指函数增长速度比较。

结论推广：对于 $y=\frac{x^n}{a^x-1}$ 型函数，当 $a>1$ 时，其 $x\to +\infty$ 的趋势始终是趋向 0。

方法推广：“多想少算”。对于这类选择题，不需要去求导找极值点，而是通过： - ① 定义域 - ② 奇偶性（本题非奇非偶） - ③ 正负号 - ④ 特殊值/极限 这四招基本能解决 90% 的图象识别题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-广东卷文-02 单-函数定义域