2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各象限的符号。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知 $\alpha$ 是第二象限角，$\sin \alpha =\frac{5}{13}$，则 $\cos \alpha =$()

A. $-\frac{12}{13}$　　　　　B. $-\frac{5}{13}$　　　　　C. $\frac{5}{13}$　　　　　D. $\frac{12}{13}$

🔍【思路分析】

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1. ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$。
2. $\alpha$ 为第二象限角，$\cos \alpha <0$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

由同角三角函数的平方关系 ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169},$ 所以 $\cos \alpha =\pm \frac{12}{13}.$ 因为 $\alpha$ 是第二象限角，第二象限角的余弦值为负，故 $\cos \alpha =-\frac{12}{13}.$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的基本关系与象限符号

核心方法：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，再按象限定符号

避坑指南：开平方必须取 $\cos \alpha =\pm \frac{12}{13}$ 再按”第二象限”舍去正值——直接写 $\frac{12}{13}$ 是最常见的丢分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角三角函数关系（全国卷必考小题）。

结论推广：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$；第二象限角：$\sin \alpha >0$，$\cos \alpha <0$，$\tan \alpha <0$。

方法推广：给值求值两步：用平方关系求出带 $\pm$ 的值 → 按”角所在象限”定符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-02 单-三角函数定义
• 2013年大纲版理-13