2013-大纲卷文-08 单-椭圆标准方程

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的通径。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_2$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交 $C$ 于 $A$、$B$ 两点，且 $|AB|=3$，则 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{2}+y^2=1$　　B. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$　　C. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$　　D. $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

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1. $c=1$，故 $a^2-b^2=1$。
2. 直线 $x=1$ 与椭圆交点的纵坐标为 $\pm \frac{3}{2}$，代入方程得 $\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1$。
3. 联立解出 $b^2=3$、$a^2=4$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由焦点 $(\pm 1,0)$ 知 $c=1$，故 $a^2-b^2=1.$ 直线 $x=1$ 与椭圆交于 $A$、$B$，由 $|AB|=3$ 知两交点的纵坐标为 $\pm \frac{3}{2}$。把 $\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 代入椭圆方程： $\frac{1}{a^2}+\frac{9}{4b^2}=1.$ 将 $a^2=b^2+1$ 代入： $\frac{1}{b^2+1}+\frac{9}{4b^2}=1,$ 两边同乘 $4b^2(b^2+1)$： $4b^2+9(b^2+1)=4b^2(b^2+1),$ 整理： $13b^2+9=4b^4+4b^2⟹4b^4-9b^2-9=0.$ 令 $t=b^2$：$4t^2-9t-9=0$，解得 $t=3$（$t=-\frac{3}{4}$ 舍去），故 $b^2=3$，$a^2=4$。 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1,$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程（通径）

核心方法：过焦点垂直于长轴的弦（通径）长为 $\frac{2b^2}{a}$，结合 $a^2-b^2=c^2$ 解方程

避坑指南：过焦点 $F_2(c,0)$ 且垂直于 $x$ 轴的弦长是 $\frac{2b^2}{a}$（通径长），不是 $2b$；由 $|AB|=3$ 与选项可直接逐一验证更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的标准方程与几何性质（全国卷高频）。

结论推广：$a^2=b^2+c^2$；过焦点 $(c,0)$ 的铅垂弦（通径）长为 $\frac{2b^2}{a}$。

方法推广：给焦点与通径长求方程两步：由焦点坐标得 $c$ → 由弦长列关于 $a$、$b$ 的方程组求解（或把选项逐一代入检验）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程
• 2013年大纲版理-8