2013-大纲卷理-12 单-三角函数对称性与最值

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及三角函数的对称性与最值。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知函数 $f(x)=\cos x\sin 2x$，下列结论中错误的是()

A. $y=f(x)$ 的图象关于点 $(\pi ,0)$ 中心对称

B. $y=f(x)$ 的图象关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称

C. $f(x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $f(x)$ 既是奇函数，又是周期函数

🔍【思路分析】

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1. 化简函数式：先用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，把 $f(x)$ 化为 $f(x)=2\sin x{\cos }^{2}x$，便于用单个变量表示。
2. 判断奇偶性与周期性：由化简式直接计算 $f(-x)$ 与 $f(x+2\pi )$，可快速判定 D。
3. 验证对称中心与对称轴：中心对称 $(a,0)$ 的代数特征是 $f(2a-x)=-f(x)$；轴对称 $x=a$ 的代数特征是 $f(2a-x)=f(x)$。把 $a=\pi$、$a=\frac{\pi }{2}$ 分别代入检验。
4. 检验最值：令 $t=\sin x\in [-1,1]$，则 $f(x)=2t(1-t^2)=2t-2t^3$，用导数求出该三次函数在 $[-1,1]$ 上的最大值，与 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 比较。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简函数式

由二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，得 $f(x)=\cos x\cdot 2\sin x\cos x=2\sin x{\cos }^{2}x$。

第二步：判断 D 项（奇偶性与周期性）

$f(-x)=2\sin (-x){\cos }^2(-x)=-2\sin x{\cos }^{2}x=-f(x)$，故 $f(x)$ 是奇函数； 又 $f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi ){\cos }^2(x+2\pi )=2\sin x{\cos }^{2}x=f(x)$，故 $f(x)$ 是周期函数。 所以 D 项正确。

第三步：判断 A 项（关于点 $(\pi ,0)$ 中心对称）

$f(2\pi -x)=2\sin (2\pi -x){\cos }^2(2\pi -x)=-2\sin x{\cos }^{2}x=-f(x)$， 即 $f(2\pi -x)=-f(x)$ 对一切 $x$ 成立，故图象关于点 $(\pi ,0)$ 中心对称，A 项正确。

第四步：判断 B 项（关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称）

$f(\pi -x)=2\sin (\pi -x){\cos }^2(\pi -x)=2\sin x{\cos }^{2}x=f(x)$， 即 $f(\pi -x)=f(x)$ 对一切 $x$ 成立，故图象关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称，B 项正确。

第五步：判断 C 项（最值）

令 $t=\sin x$，则 $t\in [-1,1]$，且 $f(x)=2\sin x{\cos }^{2}x=2\sin x(1-{\sin }^{2}x)=2t-2t^3$。 设 $g(t)=2t-2t^3$，$t\in [-1,1]$，则 $g^{\prime }(t)=2-6t^2$。 令 $g^{\prime }(t)=0$，得 $t=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。 $g\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{9}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$， $g\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{3}}{9}$，端点处 $g(1)=g(-1)=0$。 所以 $f(x)$ 的最大值为 $\frac{4\sqrt{3}}{9}$。

因为 $\frac{4\sqrt{3}}{9}\approx 0.77$，而 $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.87$，两者不相等， 故 $f(x)$ 的最大值不是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，即 C 项错误。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的图象与性质（对称中心、对称轴、最值、奇偶性、周期性）。

核心方法：性质验证法 + 换元法。先把函数化为 $2\sin x{\cos }^{2}x$，对称性问题转成 $f(2a-x)$ 与 $f(x)$、$-f(x)$ 的恒等关系；最值问题换元 $t=\sin x$ 化为三次函数，再用导数处理。

避坑指南：- 判断对称中心用 $f(2a-x)=-f(x)$，判断对称轴用 $f(2a-x)=f(x)$，两者不要混用。 - ${\cos }^{2}x⩾0$，换元 $t=\sin x$ 后务必带上 $t\in [-1,1]$ 的限制，否则会求出 $t\to \pm \infty$ 时的发散值。 - 求三次函数在闭区间上的最值时，必须比较极值点与端点的函数值。 - 本题问的是「错误的结论」，最后要落在 C 项上，不要误选成正确结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角函数的最值、函数的奇偶性与周期性、利用导数求函数在闭区间上的最值。

结论推广：一般地，$f(x)=\sin x{\cos }^{2}x$ 型函数的最大值为 $\frac{4\sqrt{3}}{9}$（在 $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取得），最小值为 $-\frac{4\sqrt{3}}{9}$；其最小正周期为 $2\pi$（$f(x+\pi )=-f(x)$，故 $\pi$ 不是正周期）。

方法推广：凡形如「$a\sin x+b{\sin }^{3}x$」的最值问题，都可换元为三次函数 $g(t)=at+b{t}^3$ 后用导数求解；对称性问题一律化为 $f(2a-x)$ 的恒等式验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-14 填-三角函数最值
• 2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值
• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值