2013-天津卷文-09 填-复数乘法

本题导读

本题考查复数的四则运算。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，复数 $(3+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})=$ 　　.

🔍【思路分析】

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1. 展开：$3-6\mathrm{i}+\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2$。
2. ${\mathrm{i}}^2=-1$ → $3-5\mathrm{i}+2$。
3. $5-5\mathrm{i}$。

✅【答案】

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$5-5\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

$(3+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})=3\times 1-3\times 2\mathrm{i}+\mathrm{i}\times 1-\mathrm{i}\times 2\mathrm{i}=3-6\mathrm{i}+\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2.$ 由 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 得 $-2{\mathrm{i}}^2=2$，故 $(3+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})=3-6\mathrm{i}+\mathrm{i}+2=5-5\mathrm{i}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘法运算

核心方法：$(3+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})=3-6\mathrm{i}+\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2=3-5\mathrm{i}+2=5-5\mathrm{i}$

避坑指南：按多项式相乘展开，最后用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 收尾；$-\mathrm{i}\cdot 2\mathrm{i}=-2{\mathrm{i}}^2$ 中负负得正要 +2，漏掉符号会得 $-1-5\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的乘法运算。

结论推广：多项式展开；${\mathrm{i}}^2=-1$ 代入化简。

方法推广：逐项相乘 → 合并同类项 → 用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 化成 $a+b\mathrm{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-02 单-复数乘法
• 2014-北京卷文-09 填-复数运算
• 2014-安徽卷文-01 单-复数运算