2013-天津卷文-17 解-三棱柱线面平行垂直

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定。核心在于中位线构造平行四边形、判定定理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(文)） 如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，侧棱 $A_{1}A\perp$ 底面 $ABC$，且各棱长均相等，$D$，$E$，$F$ 分别为棱 $AB$，$BC$，$A_1{C}_1$ 的中点.

(1)证明 $EF\parallel$ 平面 $A_{1}CD$；

(2)证明平面 $A_{1}CD\perp$ 平面 $A_{1}AB{B}_1$；

(3)求直线 $BC$ 与平面 $A_{1}CD$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $DE\parallel AC$ 且 $DE=\frac{1}{2}AC$；$A_{1}F\parallel AC$ 且 $A_{1}F=\frac{1}{2}AC$ → 四边形 $A_{1}DEF$ 为平行四边形 → $EF\parallel A_{1}D$ → $EF\parallel$ 平面 $A_{1}CD$。
2. $(2)$ $△ABC$ 正三角形、$D$ 为中点 → $CD\perp AB$；$A_{1}A\perp$ 面 $ABC$ → $CD\perp A_{1}A$ → $CD\perp$ 平面 $A_{1}AB{B}_1$ → 平面 $A_{1}CD\perp$ 平面 $A_{1}AB{B}_1$。
3. $(3)$ 取棱长 $2$，$D(0,0,0),B(1,0,0),A(-1,0,0),C(0,\sqrt{3},0),A_1(-1,0,2)$；平面 $A_{1}CD$ 法向量 $\mathbf{n}=(2,0,1)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,\sqrt{3},0)$ → $\sin \theta =\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

✅【答案】

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(1)(2)见解析；(3)$\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 因为 $D$，$E$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点，由三角形中位线定理 $DE\parallel AC,DE=\frac{1}{2}AC.$ 三棱柱的上下底面全等且对应边平行，故 $A_1{C}_1\parallel AC$ 且 $A_1{C}_1=AC$。又 $F$ 是 $A_1{C}_1$ 的中点，所以 $A_{1}F=\frac{1}{2}{A}_1{C}_1=\frac{1}{2}AC=DE,$ 且 $A_{1}F\parallel A_1{C}_1\parallel AC\parallel DE$。于是四边形 $A_{1}DEF$ 的一组对边 $A_{1}F$ 与 $DE$ 平行且相等，它是平行四边形，从而 $EF\parallel A_{1}D.$ 因为 $A_{1}D\subset$ 平面 $A_{1}CD$，$EF\not\subset$ 平面 $A_{1}CD$，所以 $EF\parallel$ 平面 $A_{1}CD$。 （2） 因为三棱柱各棱长均相等，底面 $△ABC$ 是正三角形，$D$ 为 $AB$ 的中点，故 $CD\perp AB.$ 又侧棱 $A_{1}A\perp$ 底面 $ABC$，而 $CD\subset$ 底面 $ABC$，所以 $CD\perp A_{1}A.$ $AB$ 与 $A_{1}A$ 是平面 $A_{1}AB{B}_1$ 内两条相交直线，因此 $CD\perp \text{平面}{A}_{1}AB{B}_1.$ 又 $CD\subset$ 平面 $A_{1}CD$，由面面垂直的判定定理， $\text{平面}{A}_{1}CD\perp \text{平面}{A}_{1}AB{B}_1.$ （3） 设各棱长为 $2$。以 $D$ 为原点，$DB$ 所在直线为 $x$ 轴，$DC$ 所在直线为 $y$ 轴，$A_{1}A$ 的方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系，则 $D(0,0,0),B(1,0,0),A(-1,0,0),C(0,\sqrt{3},0),A_1(-1,0,2).$ 于是 $\overrightarrow{DC}=(0,\sqrt{3},0),\overrightarrow{D{A}_1}=(-1,0,2).$ 设平面 $A_{1}CD$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$，则 $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{DC}=\sqrt{3}y=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{D{A}_1}=-x+2z=0\end{array}⟹y=0,x=2z.$ 取 $z=1$，得 $\mathbf{n}=(2,0,1)$。 又 $\overrightarrow{BC}=(0,\sqrt{3},0)-(1,0,0)=(-1,\sqrt{3},0)$，$|\overrightarrow{BC}|=2$，$|\mathbf{n}|=\sqrt{5}$。设直线 $BC$ 与平面 $A_{1}CD$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\mathbf{n}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{|-2|}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱柱中的线面平行、面面垂直与线面角

核心方法：$(1)$ $D,E$ 为 $AB,BC$ 中点 → $DE\parallel AC$ 且 $DE=\frac{1}{2}AC$；$A_1{C}_1\parallel AC$ 且 $A_1{C}_1=AC$，$F$ 为 $A_1{C}_1$ 中点 → $A_{1}F=\frac{1}{2}{A}_1{C}_1=\frac{1}{2}AC=DE$ 且 $A_{1}F\parallel DE$ → 四边形 $A_{1}DEF$ 为平行四边形 → $EF\parallel A_{1}D$ → $EF\parallel$ 平面 $A_{1}CD$。$(2)$ $△ABC$ 为正三角形且 $D$ 为 $AB$ 中点 → $CD\perp AB$；又 $A_{1}A\perp$ 底面 $ABC$ → $CD\perp A_{1}A$；$AB\cap A_{1}A=A$ → $CD\perp$ 平面 $A_{1}AB{B}_1$，$CD\subset$ 平面 $A_{1}CD$ → 平面 $A_{1}CD\perp$ 平面 $A_{1}AB{B}_1$。$(3)$ 棱长取 $2$，以 $D$ 为原点建系得平面 $A_{1}CD$ 的法向量 $\mathbf{n}=(2,0,1)$，$\overrightarrow{BC}=(-1,\sqrt{3},0)$ → $\sin \theta =\frac{|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\mathbf{n}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

避坑指南：$(1)$ 证明线面平行要”线线平行 → 线面平行”，关键是认出 $A_{1}DEF$ 是平行四边形（用中位线 + 上下底面全等）；$(2)$ 证明面面垂直只需在其中一个平面内找一条垂直于另一个平面的直线（本题是 $CD$，它同时垂直于 $AB$ 和侧棱 $A_{1}A$）；$(3)$ 求线面角用公式 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{BC}|}{|\mathbf{n}||\overrightarrow{BC}|}$，注意法向量的取法不唯一，结果与 $|\cos |$ 相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱柱（正棱柱）中平行与垂直的证明、线面角的计算。

结论推广：线面平行判定定理；面面垂直判定定理；空间向量求线面角。

方法推广：中位线 + 平行四边形证线面平行 → 找”垂直于另一平面的直线”证面面垂直 → 建系求法向量与线面角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直
• 2013-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角