2013-天津卷理-01 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及交集。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知集合 $A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x|\le 2\}$，$B=\{x\in \mathbb{R}\mid x\le 1\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $(-\infty ,2]$　　　　B. $[1,2]$　　　　C. $[-2,2]$　　　　D. $[-2,1]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解集合 A：化简绝对值不等式 $|x|\le 2$，得到 $x$ 的取值区间。
2. 明确集合 B：集合 $B$ 已给出范围为 $x\le 1$。
3. 求交集：利用数轴或不等式组求出两个区间的公共部分。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解集合 A 由 $|x|\le 2$ 得： $-2\le x\le 2$ 所以 $A=\{x\mid -2\le x\le 2\}$。

第二步：明确集合 B 已知 $B=\{x\mid x\le 1\}$。

第三步：计算 $A\cap B$ 根据交集的定义，元素需同时满足 $A$ 和 $B$ 的条件： $\{\begin{array}{l}-2\le x\le 2\\ x\le 1\end{array}$ 解得 $-2\le x\le 1$。 用区间表示为 $[-2,1]$。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式 $|x|\le a⟺-a\le x\le a$（其中 $a>0$）；集合交集运算。

核心方法：数轴分析法。将各个集合的范围标在数轴上，重叠的部分即为交集。

避坑指南：注意端点的开闭。本题中两个不等式均带有等号，因此交集的边界点 $-2$ 和 $1$ 均包含在内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：补集运算、一元二次不等式的解法。

结论推广：若题目要求 $A\cup B$（并集），则结果为 $(-\infty ,2]$。

方法推广：解决此类问题通常遵循“化简集合 → 数轴绘图 → 确定结果”的三步走战略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集