2013-天津卷理-05 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线，以及双曲线的几何性质。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的两条渐近线与抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 的准线分别交于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点.若双曲线的离心率为 $2$，$△AOB$ 的面积为 $\sqrt{3}$，则 $p=$()

A. 1　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 分析双曲线：
   • 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
   • 离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，结合 $c^2=a^2+b^2$，求出 $b$ 与 $a$ 的比例关系，从而确定渐近线斜率。
2. 分析抛物线：
   • 抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。
3. 求交点坐标：
   • 将 $x=-\frac{p}{2}$ 代入渐近线方程，求出 $A,B$ 两点的纵坐标。
4. 利用面积公式求解：
   • $△AOB$ 为底边在准线上、高为原点到准线距离的三角形。利用 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot |y_A-y_B|\cdot |x_{准}|$ 建立方程求 $p$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用离心率求渐近线斜率 已知双曲线离心率 $e=\frac{c}{a}=2$。 由 $c^2=a^2+b^2$ 得 $(\frac{c}{a}{)}^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。 即 $2^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2⟹(\frac{b}{a}{)}^2=3⟹\frac{b}{a}=\sqrt{3}$。 所以双曲线的两条渐近线方程为 $y=\sqrt{3}x$ 和 $y=-\sqrt{3}x$。

第二步：求交点 $A,B$ 坐标 抛物线 $y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 联立 $\{\begin{array}{l}x=-\frac{p}{2}\\ y=\pm \sqrt{3}x\end{array}$ 得交点坐标为 $A(-\frac{p}{2},-\frac{\sqrt{3}p}{2})$ 和 $B(-\frac{p}{2},\frac{\sqrt{3}p}{2})$。

第三步：计算面积并求 $p$ 线段 $AB$ 位于准线上，长度 $|AB|=|\frac{\sqrt{3}p}{2}-(-\frac{\sqrt{3}p}{2})|=\sqrt{3}p$。 原点 $O$ 到直线 $AB$（即准线）的距离为 $d=|-\frac{p}{2}|=\frac{p}{2}$。 所以 $S_{△AOB}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}p\cdot \frac{p}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}{p}^2$。

已知 $S_{△AOB}=\sqrt{3}$，则： $\frac{\sqrt{3}}{4}{p}^2=\sqrt{3}⟹p^2=4$ 由于 $p>0$，解得 $p=2$。

故正确答案为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率与渐近线斜率的关系式 $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$；抛物线标准方程中准线位置的判定。

核心方法：“坐标化处理”。将几何图形的性质（平行、垂直、面积）转化为交点坐标的运算，是解析几何最稳健的解法。

避坑指南：- 抛物线 $y^2=2px$ 的准线是 $x=-\frac{p}{2}$ 而非 $x=-p$。 - 注意双曲线焦点在 $x$ 轴还是 $y$ 轴，本题解析式明确焦点在 $x$ 轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形的面积坐标公式、直线与直线的交点。

结论推广：对于双曲线渐近线与垂直于对称轴的直线围成的三角形，其面积通常与离心率和该直线到原点的距离有关。

方法推广：“坐标化处理”。将几何图形的性质（平行、垂直、面积）转化为交点坐标的运算，是解析几何最稳健的解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-15 单-双曲线的性质
• 2025-新高考II卷-11 多-双曲线几何性质
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线