2013-安徽卷文-16 解-三角和角与变换

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于和差化积化一角一名、伸缩与平移变换的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 设函数 $f(x)=\sin x+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

(1)求 $f(x)$ 的最小值，并求使 $f(x)$ 取得最小值的 $x$ 的集合；

(2)不画图，说明函数 $y=f(x)$ 的图象可由 $y=\sin x$ 的图象经过怎样的变化得到.

🔍【思路分析】

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1. $f(x)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 最小值 $-\sqrt{3}$，此时 $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi -\frac{\pi }{2}$，即 $x=2k\pi -\frac{2\pi }{3}$（$k\in \mathbf{Z}$）。
3. (2) $y=\sin x$ 的图象纵坐标伸长到原来的 $\sqrt{3}$ 倍得 $y=\sqrt{3}\sin x$，再向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位得 $y=f(x)$。

✅【答案】

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(1)最小值为 $-\sqrt{3}$，$x$ 的集合为 $\left\{x|x=2k\pi -\frac{2\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$ (2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由和差化积公式： $f(x)=2\sin \frac{x+x+\frac{\pi }{3}}{2}\cos \frac{x-\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$ 当 $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi -\frac{\pi }{2}$，即 $x=2k\pi -\frac{2\pi }{3}$（$k\in \mathbf{Z}$）时，$f(x)$ 取得最小值 $-\sqrt{3}$， 此时 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=2k\pi -\frac{2\pi }{3},k\in \mathbf{Z}\right\}$。 （2）将 $y=\sin x$ 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 $\sqrt{3}$ 倍（横坐标不变），得到 $y=\sqrt{3}\sin x$ 的图象； 再将所得图象上所有点向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，即得 $y=\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$，也就是 $y=f(x)$ 的图象。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的化积与图象变换

核心方法：$f(x)=\sin x+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$，最小值 $-\sqrt{3}$；变换：纵坐标伸长 $\sqrt{3}$ 倍 → 左移 $\frac{\pi }{6}$

避坑指南：和差化积：$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$——本题 $\frac{\alpha -\beta }{2}=-\frac{\pi }{6}$，$\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$；变换顺序”先伸缩后平移”与”先平移后伸缩”的平移量不同（$\frac{\pi }{6}$ 与 $\frac{\pi }{2}$），写清楚先后。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换与图象变换（安徽卷解答题首题）。

结论推广：和差化积化一角一名；$y=A\sin (x+\phi )$ 的伸缩平移。

方法推广：化积 → 定最小值与取值集合 → 按官方顺序叙述变换（先伸缩、后平移）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-15 解-三角恒等变换求角
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换
• 2013-新课标I卷文-16 填-三角函数最值