2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质。核心在于三线合一+线面垂直、等体积转换的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的菱形，$\angle BAD=60^{\circ }$. 已知 $PB=PD=2$，$PA=\sqrt{6}$.

(1)证明：$PC\perp BD$；

(2)若 $E$ 为 $PA$ 的中点，求三棱锥 $P-BCE$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. (1) 连 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$。$PB=PD$，$O$ 为 $BD$ 中点 → $PO\perp BD$；菱形 → $AC\perp BD$；$PO,AC\subset$ 面 $PAC$ → $BD\perp$ 面 $PAC$ → $PC\perp BD$。
2. (2) $BD\perp$ 面 $PAC$ → $B$ 到面 $PAC$ 的距离 $OB=1$；$E$ 为 $PA$ 中点 → $S_{△PCE}=\frac{1}{2}{S}_{△PAC}$。
3. $OA=\sqrt{3}$（$AC=2\sqrt{3}$），$PO=\sqrt{P{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$ → $S_{△PAC}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$。
4. $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1)证明见解析 (2)$V_{P-BCE}=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）连接 $AC$，设 $AC\cap BD=O$，连接 $PO$。 因为 $ABCD$ 是菱形，所以 $O$ 为 $BD$ 的中点，且 $AC\perp BD$。 因为 $PB=PD$，$△PBD$ 为等腰三角形，$O$ 为底边 $BD$ 中点，由三线合一得 $PO\perp BD$。 又 $PO\subset$ 平面 $PAC$，$AC\subset$ 平面 $PAC$，$PO\cap AC=O$， 所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$。 而 $PC\subset$ 平面 $PAC$，故 $PC\perp BD$。 （2）菱形边长为 $2$、$\angle BAD=60^{\circ }$，故短对角线 $BD=2$，$OB=1$，长对角线 $AC=2\times 2\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$，$OA=\sqrt{3}$。 在 $\text{Rt}△POA$ 中（$PO\perp AC$），$PO=\sqrt{P{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{6-3}=\sqrt{3}$， $S_{△PAC}=\frac{1}{2}\times AC\times PO=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3.$ 由（1）知 $BD\perp$ 平面 $PAC$，故 $OB$ 是点 $B$ 到平面 $PAC$ 的距离，$OB=1$。 用等体积法： $V_{P-BCE}=V_{B-PCE}=\frac{1}{3}{S}_{△PCE}\cdot OB.$ 因为 $E$ 为 $PA$ 的中点，$C$ 到直线 $PA$ 的距离不变，所以 $S_{△PCE}=\frac{1}{2}{S}_{△PAC}=\frac{3}{2}$。 故 $V_{P-BCE}=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}\times 1=\frac{1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：菱形底四棱锥的垂直与体积

核心方法：$PB=PD$ → $PO\perp BD$（$O$ 为 $BD$ 中点，$O$ 在 $AC$ 上）；$PO\subset$ 面 $PAC$，$AC\perp BD$ → $BD\perp$ 面 $PAC$ → $PC\perp BD$；(2) $V(P-BCE)=V(B-PCE)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{S}_{△PAC}\cdot OB=\frac{1}{2}$

避坑指南：(1) 的桥梁是等腰三角形三线合一（$PO\perp BD$）加 $BD\perp$ 面 $PAC$——只证 $PO\perp BD$ 不够，要再找平面内另一条线 $AC$；(2) 等体积换底后高恰为 $OB=1$，底面积取 $△PCE=\frac{1}{2}△PAC$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与平面垂直的判定、三棱锥的体积（菱形底四棱锥，安徽卷立体几何）。

结论推广：等腰三角形三线合一；线面垂直判定；等体积法换底。

方法推广：(1) 连 $AC$ 交 $BD$ 于 $O$ → 等腰 + 菱形对角线垂直 → $BD\perp$ 面 $PAC$；(2) 换底 $B-PCE$ → $OB$ 为高。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-山东卷文-19 解-线面平行面面垂直
• 2013-新课标II卷文-18 解-线面平行与棱锥体积