2013-安徽卷理-11 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 若 $(x+\frac{a}{\sqrt[3]{x}}{)}^8$ 的展开式中 $x^4$ 的系数为 $7$，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{A}^{n-r}{B}^r$。
2. 幂指数变形：将 $\frac{a}{\sqrt[3]{x}}$ 改写为 $a\cdot x^{-\frac{1}{3}}$，便于合并同底数幂。
3. 整理 $x$ 的指数：合并通项中所有 $x$ 的幂，得到关于 $r$ 的表达式。
4. 建立方程：令 $x$ 的总指数等于 $4$，求出 $r$ 的值。
5. 计算求值：将 $r$ 代入系数项，结合已知系数为 $7$，求出实数 $a$。

✅【答案】

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解得实数 $a=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定二项式展开的通项 $(x+a\cdot x^{-\frac{1}{3}}{)}^8$ 的展开式通项公式为： $T_{r+1}=C_8^r\cdot x^{8-r}\cdot (a\cdot x^{-\frac{1}{3}}{)}^r$ $T_{r+1}=C_8^r\cdot a^r\cdot x^{8-r}\cdot x^{-\frac{r}{3}}$

第二步：合并 $x$ 的指数 $T_{r+1}=C_8^r\cdot a^r\cdot x^{8-r-\frac{r}{3}}=C_8^r\cdot a^r\cdot x^{8-\frac{4r}{3}}$

第三步：求出 $r$ 的值 令 $x$ 的指数为 $4$： $8-\frac{4r}{3}=4⟹\frac{4r}{3}=4⟹r=3$

第四步：建立关于 $a$ 的方程 当 $r=3$ 时，对应项的系数为 $C_8^3\cdot a^3$。 已知该系数为 $7$，则： $C_8^3\cdot a^3=7$ 计算组合数 $C_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$。 代入方程： $56\cdot a^3=7⟹a^3=\frac{7}{56}=\frac{1}{8}$ 解得实数 $a=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：通项公式 $T_{r+1}$ 的准确应用及其指数的化简。

核心方法：将根式转化为分数指数幂是处理此类“求特定项”问题的标准流程。

避坑指南：注意 $r$ 的取值必须是 $0$ 到 $n$ 之间的整数。此外，二项式系数 $C_n^r$ 与项的系数（包含 $a^r$）是两个不同的概念，计算时不可遗漏常数项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数之和、赋值法求系数和。

结论推广：若求常数项，则令指数 $8-\frac{4r}{3}=0$。

方法推广：涉及 $(A{x}^m+B{x}^n{)}^p$ 形式的展开式，均可通过此通项法寻找特定项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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