2013-山东卷文-09 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的图象识别，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 函数 $y=x\cos x+\sin x$ 的图象大致为()

🔍【思路分析】

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1. $x\cos x$ 奇、$\sin x$ 奇 → $f$ 奇，图象关于原点对称。
2. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\times 0+1=1>0$；$f(\pi )=\pi \times (-1)+0=-\pi <0$。
3. 图象在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内由正变负，与四选项逐一对照，只有 D 满足。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(x)=x\cos x+\sin x$。 奇偶性：$f(-x)=(-x)\cos (-x)+\sin (-x)=-x\cos x-\sin x=-f(x)$，是奇函数，图象关于原点中心对称。 特殊值： $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}=1>0,$ $f(\pi )=\pi \cos \pi +\sin \pi =-\pi <0.$ 所以图象在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上取正值、在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内穿过 $x$ 轴变号（零点满足 $\tan x=-x$，位于 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内）。 对照四个选项的图象，只有 D 同时满足”关于原点对称、在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 内为正、在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内变号”。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的识别

核心方法：$y=x\cos x+\sin x$ 是奇函数（两项均奇）；$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1>0$，$f(\pi )=-\pi <0$ → 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 内变号

避坑指南：图象识别题三件套：奇偶性定对称（排除与奇偶矛盾者）→ 特殊值定正负（$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$、$f(\pi )=-\pi$）→ 零点/趋势定形（$\tan x=-x$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 有根）；只验一个特殊值就下结论容易选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象的识别（新课标卷高频题型）。

结论推广：$x\cos x$ 与 $\sin x$ 都是奇函数 → 和为奇函数；$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$，$f(\pi )=-\pi$。

方法推广：图象识别三板斧：奇偶性定对称排除 → 特殊值定正负排除 → 单调性/零点定位确认。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别