2013-山东卷文-17 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于组合数定总数、字典序列举有利事件的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 某小组共有 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 五位同学，他们的身高（单位：米）及体重指标（单位：千克/米${}^2$）如下表所示：

	A	B	C	D	E
身高	1.69	1.73	1.75	1.79	1.82
体重指标	19.2	25.1	18.5	23.3	20.9

(1)从该小组身高低于 $1.80$ 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 $1.78$ 以下的概率;

(2)从该小组同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 $1.70$ 以上且体重指标都在 $[18.5,23.9)$ 中的概率.

🔍【思路分析】

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1. (1) 低于 $1.80$ 的是 $A$、$B$、$C$、$D$；$C_4^2=6$；都在 $1.78$ 以下的是 $A$、$B$、$C$ → 3 种。
2. (2) $C_5^2=10$；身高 $>1.70$ 且体重在 $[18.5,23.9)$ 的：$C$、$D$、$E$（$B$ 体重 $25.1$ 超标）→ 3 种。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{3}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 身高低于 $1.80$ 的同学是 $A$、$B$、$C$、$D$，从他们中任选 2 人，一切可能的结果为 $(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),$ 共 $6$ 个，且每个基本事件等可能。 其中 2 人身高都在 $1.78$ 以下的，需两人都来自 $A$、$B$、$C$（身高 $1.69$、$1.73$、$1.75$），有 $(A,B),(A,C),(B,C),$ 共 $3$ 个。故所求概率 $P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$ (2) 从 5 人中任选 2 人，基本事件共 $C_5^2=10$ 个。 身高在 $1.70$ 以上且体重指标在 $[18.5,23.9)$ 中的同学：$A$ 身高 $1.69$ 不合；$B$ 体重 $25.1$ 不合；$C$（$1.75$，$18.5$）、$D$（$1.79$，$23.3$）、$E$（$1.82$，$20.9$）符合。 所以选到的 2 人都符合条件的事件有 $(C,D),(C,E),(D,E),$ 共 $3$ 个。故所求概率 $P=\frac{3}{10}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型与列举计数

核心方法：身高低于 $1.80$ 的 4 人中选 2 人共 $6$ 种，都在 $1.78$ 以下（$A$、$B$、$C$）的有 $3$ 种 → $\frac{1}{2}$；全体 10 种中符合两条件的是 $C$、$D$、$E$ 选 2 → $\frac{3}{10}$

避坑指南：列举基本事件按字典序排列不重不漏：$C_4^2=6$、$C_5^2=10$ 个；第二问是”双条件筛选”——先筛人（身高 $>1.70$ 且体重在 $[18.5,23.9)$：$C$、$D$、$E$ 三人），再在筛出的集合里数组合，别在全体内直接数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型（列举法，山东卷解答题常考）。

结论推广：$P=\frac{m}{n}$，$n$ 为等可能基本事件总数；组合数 $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$。

方法推广：古典概型两问套路：用组合数定总数、用列举定有利事件数 → 概率 = 有利/总数；多条件先筛个体再组合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-03 单-古典概型
• 2014-天津卷文-15 解-古典概型