2013-广东卷文-07 单-圆的切线

本题导读

本题考查两条直线的位置关系，以及直线与圆相切。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 垂直于直线 $y=x+1$ 且与圆 $x^2+y^2=1$ 相切于第一象限的直线方程是()

A. $x+y-\sqrt{2}=0$　　　B. $x+y+1=0$　　　C. $x+y-1=0$　　　D. $x+y+\sqrt{2}=0$

🔍【思路分析】

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1. 所求直线与 $y=x+1$（斜率 $1$）垂直，斜率为 $-1$，设为 $x+y+c=0$。
2. 相切：圆心 $(0,0)$ 到直线的距离 $\frac{|c|}{\sqrt{2}}=1$ → $c=\pm \sqrt{2}$。
3. 切点是圆心在切线上的投影 $(-c/2,-c/2)$，在第一象限 → $c<0$ → $c=-\sqrt{2}$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

直线 $y=x+1$ 的斜率为 $1$，所求直线与其垂直，斜率为 $-1$，故可设 $x+y+c=0.$ 由直线与圆 $x^2+y^2=1$ 相切，圆心 $(0,0)$ 到直线的距离等于半径 $1$： $\frac{|c|}{\sqrt{1^2+1^2}}=1\Rightarrow c=\pm \sqrt{2}.$ 圆心在切线上的投影即切点，坐标为 $\left(-\frac{c}{2},-\frac{c}{2}\right)$。 切点在第一象限 $\Rightarrow -\frac{c}{2}>0\Rightarrow c<0$，故 $c=-\sqrt{2}$。 所求直线方程为 $x+y-\sqrt{2}=0$。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线（垂直直线系）

核心方法：与 $y=x+1$ 垂直 → 设 $x+y+c=0$；切点 $(-\frac{c}{2},-\frac{c}{2})$ 在第一象限 → $c<0$；$d=\frac{|c|}{\sqrt{2}}=1$ → $c=-\sqrt{2}$

避坑指南：“相切于第一象限”是用来定 $c$ 的符号的——只算距离 $|c|=\sqrt{2}$ 不看象限，就会在 $\pm \sqrt{2}$ 里选错；切点是圆心向切线作垂线的垂足，坐标 $(-c/2,-c/2)$ 可快速验象限。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆相切（垂直条件 + 象限定参，广东卷选择题）。

结论推广：垂直 → $k_1{k}_2=-1$；圆心到切线距离等于半径；切点为圆心在切线上的投影。

方法推广：设直线系 $x+y+c=0$ → 距离定 $|c|$ → 切点象限定符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-16 填-圆切线夹角
• 2013-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲
• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性