2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质

本题导读

本题考查圆，以及圆周角定理与直径性质。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在圆 $O$ 上，延长 $BC$ 到 $D$ 使 $BC=CD$，过 $C$ 作圆 $O$ 的切线交 $AD$ 于 $E$.若 $AB=6$，$ED=2$，则 $BC=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 挖掘隐藏直角：由 $AB$ 为直径可知 $\angle ACB=90^{\circ }$，即 $AC\perp BD$。
2. 构造等腰三角形：在 $△ABD$ 中，$AC$ 既是 $BD$ 边上的高（由直角得出），又是中线（已知 $BC=CD$），因此 $△ABD$ 是等腰三角形，$AB=AD=6$。
3. 应用弦切角定理：切线 $CE$ 与弦 $AC$ 构成的弦切角 $\angle ACE=\angle ABC$。
4. 证明相似：
   • 在 $△CED$ 和 $△ACB$ 中：
   • 因为 $AB=AD$，则 $\angle D=\angle ABC$。
   • 结合弦切角关系，可得 $\angle ACE=\angle D$。
   • 进一步推导 $△CED\sim △ACB$。
5. 计算求值：利用相似三角形对应边成比例列方程求解。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：证明等腰三角形 因为 $AB$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在圆上， 所以 $\angle ACB=90^{\circ }$（直径所对的圆周角是直角），即 $AC\perp BD$。 在 $△ABD$ 中，由于 $BC=CD$ 且 $AC\perp BD$， 根据线段垂直平分线的性质，可知 $AB=AD$。 已知 $AB=6$，所以 $AD=6$。

第二步：利用弦切角定理找角相等 因为 $CE$ 是圆 $O$ 的切线，$AC$ 是弦， 根据弦切角定理，$\angle ACE=\angle ABC$。

第三步：证明相似关系 在等腰 $△ABD$ 中，$AB=AD$，所以 $\angle ABC=\angle D$。 从而得到 $\angle ACE=\angle D$。 在 $△CED$ 与 $△ACB$ 中：

• $\angle ACE=\angle D$（已证）
• $\angle ECD=\angle CAB$（通过角度互余关系或大三角形相似得出） 实际上，由 $\angle ACE=\angle ABC$ 及三角形内角关系可推导 $\angle AEC=90^{\circ }$。 由此可证 $△CED\sim △ACB$。

第四步：比例计算 根据相似三角形性质，对应边成比例： $\frac{CD}{AB}=\frac{ED}{BC}$ 因为 $BC=CD$，代入已知条件 $AB=6,ED=2$ 得： $\frac{BC}{6}=\frac{2}{BC}$ $B{C}^2=12⟹BC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

故答案为：$2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相似三角形的判定与弦切角定理。 2. 核心技巧：“几何性质联动”。直径 $\to$ 直角 $\to$ 垂直平分线 $\to$ 等腰三角形。这一系列转化是解决本题的突破口。

核心方法：见详细解析

避坑指南：相似三角形的对应边一定要找准。在本题中，$CD$ 与 $AB$ 是对应边，$ED$ 与 $BC$ 是对应边。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：相似三角形的判定与弦切角定理。 2. 核心技巧：“几何性质联动”。直径 $\to$ 直角 $\to$ 垂直平分线 $\to$ 等腰三角形。这一系列转化是解决本题的突破口。

结论推广：见详细解析。

方法推广：涉及圆的切线与三角形相似的问题，通常要用到弦切角定理来转移角度。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆
• 2014-新课标II卷文-12 单-圆与45度角
• 2023-新高考II卷-15 填-直线与圆