2013-广东卷理-21 解-导数单调性

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于导数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 设函数 $f(x)=(x-1)e^x-k{x}^2$ ($k\in \mathbb{R}$).

(1)当 $k=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)当 $k\in (\frac{1}{2},1]$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[0,k]$ 上的最大值 $M$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调性）： 直接对 $f(x)$ 求导，利用乘法法则得到 $f^{\prime }(x)=x(e^x-2k)$。代入 $k=1$，解方程 $f^{\prime }(x)=0$ 得到两个根 $x_1=0,x_2=\ln 2$。通过列表或分析导函数符号变化确定增减区间。
2. 第二问（闭区间最值）：
   • 求导分析：$f^{\prime }(x)=x(e^x-2k)$。令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x_1=0$ 和 $x_2=\ln 2k$。
   • 判定零点位置：由于 $k\in (\frac{1}{2},1]$，则 $2k\in (1,2]$，故 $x_2=\ln 2k\in (0,\ln 2]$。
   • 单调性讨论：在区间 $[0,k]$ 内，$f^{\prime }(x)$ 在 $(0,\ln 2k)$ 为负（递减），在 $(\ln 2k,k)$ 为正（递增）。
   • 最值点锁定：最大值 $M$ 必在端点 $f(0)$ 或 $f(k)$ 处取得。
   • 端点值比较：构造函数 $g(k)=f(k)-f(0)$，利用导数证明 $g(k)\ge 0$。

✅【答案】

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所以函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $(\ln 2,+\infty )$；单调递减区间为 $(0,\ln 2)$。；因此 $f(k)\ge f(0)$，最大值在 $x=k$ 处取得

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 当 $k=1$ 时，$f(x)=(x-1)e^x-x^2$。 求导得：$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x-2x=x{e}^x-2x=x(e^x-2)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=\ln 2$。 分析 $f^{\prime }(x)$ 的符号变化如下表：

$x$	$(-\infty ,0)$	$0$	$(0,\ln 2)$	$\ln 2$	$(\ln 2,+\infty )$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	极大值	$\searrow$	极小值	$\nearrow$

所以函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,0)$ 和 $(\ln 2,+\infty )$；单调递减区间为 $(0,\ln 2)$。

（Ⅱ）解： $f^{\prime }(x)=x(e^x-2k)$。令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x_1=0$，$x_2=\ln 2k$。 因为 $k\in (\frac{1}{2},1]$，所以 $2k\in (1,2]$，即 $x_2=\ln 2k\in (0,\ln 2]$。 又因为 $k>\frac{1}{2}>\ln 2\ge \ln 2k$，所以 $0<\ln 2k<k$。

函数 $f(x)$ 在 $[0,k]$ 上的单调性变化如下： 在 $(0,\ln 2k)$ 上，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 在 $(\ln 2k,k)$ 上，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 故最大值 $M=\max \{f(0),f(k)\}$。

计算端点值： $f(0)=(0-1)e^0-k(0{)}^2=-1$。 $f(k)=(k-1)e^k-k^3$。

比较 $f(k)$ 与 $f(0)$： 令 $h(k)=f(k)-f(0)=(k-1)e^k-k^3+1$，$k\in (\frac{1}{2},1]$。 求导：$h^{\prime }(k)=e^k+(k-1)e^k-3k^2=k{e}^k-3k^2=k(e^k-3k)$。 令 $\varphi (k)=e^k-3k$，则 ${\varphi }^{\prime }(k)=e^k-3$。 在 $(\frac{1}{2},1]$ 上，${\varphi }^{\prime }(k)<e^1-3<0$，故 $\varphi (k)$ 递减。 $\varphi (k)\ge \varphi (1)=e-3<0$。 所以 $h^{\prime }(k)<0$，即 $h(k)$ 在 $(\frac{1}{2},1]$ 上单调递减。 则 $h(k)\ge h(1)=(1-1)e^1-1^3+1=0$。

因此 $f(k)\ge f(0)$，最大值在 $x=k$ 处取得。 $M=f(k)=(k-1)e^k-k^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参导数的零点讨论及闭区间最值判定。 2. 核心技巧：“二次求导或构造辅助函数”。在第二问比较端点值大小时，直接比较较为困难，将其看作关于参数 $k$ 的函数并研究其单调性是解决此类压轴题的高效策略。

核心方法：见详细解析

避坑指南：要注意 $\ln 2k$ 与区间端点 $k$ 的大小关系。由于 $k$ 的范围在 $0.5$ 到 $1$ 之间，而 $\ln 2k$ 最大约为 $0.693$，需严格证明 $\ln 2k<k$（可通过 $e^k>2k$ 判定）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：零点存在性定理、泰勒展开近似（如 $e^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2}$）在辅助判定中的应用。

结论推广：指数增长速度远快于多项式增长，这一背景往往是高考压轴题构造不等式的来源。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2014-山东卷文-20 解-导数切线单调性
• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性