2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别

本题导读

本题考查函数的图象识别，以及三角函数的奇偶性与符号。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 函数 $f(x)=(1-\cos x)\sin x$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 的图象大致为()

（A）	（B）
（C）	（D）

🔍【思路分析】

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1. $f(-x)=(1-\cos x)(-\sin x)=-f(x)$，为奇函数，图象关于原点对称。
2. 当 $x\in (0,\pi )$ 时 $1-\cos x>0$、$\sin x>0$，故 $f(x)>0$；令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $\cos x=-\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{2\pi }{3}$ 处取最大值 $\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1.30$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

$f(-x)=[1-\cos (-x)]\sin (-x)=(1-\cos x)(-\sin x)=-f(x)$，故 $f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称，可排除偶函数图象。 当 $0<x<\pi$ 时，$1-\cos x>0$，$\sin x>0$，故 $f(x)>0$，图象在 $x$ 轴上方；当 $-\pi <x<0$ 时图象在 $x$ 轴下方。 求导：$f^{\prime }(x)={\sin }^{2}x+(1-\cos x)\cos x=1+\cos x-2{\cos }^{2}x$。令 $f^{\prime }(x)=0$，即 $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$，解得 $\cos x=1$（舍）或 $\cos x=-\frac{1}{2}$，即 $x=\frac{2\pi }{3}$ 处取得最大值 $f\left(\frac{2\pi }{3}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1.30,$ 峰值略高于 $1$；又 $f(\pi )=f(0)=0$，且 $x\to 0^{+}$ 时 $f(x)\approx \frac{x^3}{2}$，原点附近图象平缓。 综合奇偶性、符号与”峰值略高于 $1$“，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的图象识别

核心方法：奇偶性 + 特殊点（符号与极值）筛选

避坑指南：$x\to 0$ 时 $f(x)\approx \frac{x^3}{2}>0$，原点附近图象从第三象限穿到第一象限；别与”过原点且单调增”的直线混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象的识别（全国卷常考）。

结论推广：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 $y$ 轴对称。

方法推广：识图三步：定奇偶 → 定区间符号 → 定特殊点（零点与极值）的量级。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象