2013-新课标I卷文-23 解-极坐标方程

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化。核心在于消参化为普通方程、联立求交点的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=4+5\cos t,\\ y=5+5\sin t,\end{array}$（$t$ 为参数），以坐标原点为极点、$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta$.

(1)把 $C_1$ 的参数方程化为极坐标方程；

(2)求 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标（$\rho ⩾0$，$0⩽\theta <2\pi$）.

🔍【思路分析】

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1. $C_1$: $(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=25$，即 $x^2+y^2-8x-10y+16=0$。
2. 代入 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 得 ${\rho }^2-8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16=0$。
3. （2）$C_2$ 即 $x^2+y^2=2y$，两式相减得直线 $x+y=2$，再联立求交点。

✅【答案】

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(1)${\rho }^2-8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16=0$ (2)$\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$ 和 $\left(2,\frac{\pi }{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 由 $C_1$ 的参数方程消去 $t$：$(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=25$，即 $x^2+y^2-8x-10y+16=0.$ 代入 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$x^2+y^2={\rho }^2$，得 $C_1$ 的极坐标方程 ${\rho }^2-8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16=0.$ （2） 由 $\rho =2\sin \theta$ 得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$，即 $x^2+y^2=2y$。 与 $C_1$ 的普通方程相减： $(x^2+y^2-8x-10y+16)-(x^2+y^2-2y)=0⟹-8x-8y+16=0⟹x+y=2.$ 代入 $x^2+y^2=2y$：$(2-y{)}^2+y^2=2y$，整理得 $y^2-3y+2=0$，解得 $y=1$ 或 $y=2$。

• 当 $y=1$ 时 $x=1$，点 $(1,1)$，极坐标为 $\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$；
• 当 $y=2$ 时 $x=0$，点 $(0,2)$，极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{2}\right)$。 故交点的极坐标为 $\left(\sqrt{2},\frac{\pi }{4}\right)$ 和 $\left(2,\frac{\pi }{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化

核心方法：消参化普通方程、联立求交点

避坑指南：极坐标化为直角坐标用 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$；两方程相减可消去二次项得到直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：坐标系与参数方程（选修 4-4）。

结论推广：圆心 $(a,b)$、半径 $r$ 的圆的极坐标方程形如 ${\rho }^2-2a\rho \cos \theta -2b\rho \sin \theta +a^2+b^2-r^2=0$。

方法推广：极坐标与直角坐标互化三步：代换 → 消参 → 求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

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• 2014-新课标I卷文-23 解-参数方程
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