2013-新课标I卷理-23 解-参数方程互化

本题导读

本题考查坐标系与参数方程。核心在于消参法、坐标转换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=4+5\cos t\\ y=5+5\sin t\end{array}$ ($t$ 为参数)，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta$.

(1)把 $C_1$ 的参数方程化为极坐标方程；

(2)求 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标 ($\rho \ge 0,0\le \theta <2\pi$).

🔍【思路分析】

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1. 第一问（化极坐标方程）：

   • 先将 $C_1$ 的参数方程消去参数 $t$，化为直角坐标普通方程。利用 $(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=25{\cos }^{2}t+25{\sin }^{2}t=25$。

   • 展开普通方程得到 $x^2+y^2-8x-10y+16=0$。

   • 利用转换公式 $x^2+y^2={\rho }^2,x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 代入即可。

2. 第二问（求交点）：

   • 将 $C_2$ 的极坐标方程 $\rho =2\sin \theta$ 化为直角坐标方程（两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta ⟹x^2+y^2=2y$）。

   • 联立 $C_1$ 与 $C_2$ 的直角坐标方程求解 $(x,y)$。

   • 将得到的直角坐标点转化为极坐标点 $(\rho ,\theta )$。

✅【答案】

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${\rho }^2-8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16=0$；$(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ 和 $(2,\frac{\pi }{2})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：

对于曲线 $C_1$：$\{\begin{array}{l}x-4=5\cos t\\ y-5=5\sin t\end{array}$。

平方相加得：$(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=25$。

展开整理得直角坐标普通方程：$x^2+y^2-8x-10y+16=0$。

将 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$ 代入上式：

${\rho }^2-8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16=0$。

所以 $C_1$ 的极坐标方程为 ${\rho }^2-8\rho \cos \theta -10\rho \sin \theta +16=0$。

（2）解：

曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta$，

两边同乘以 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$，

化为直角坐标方程为：$x^2+y^2=2y$。

联立 $C_1$ 与 $C_2$ 的直角坐标方程：

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2-8x-10y+16=0\\ x^2+y^2=2y\end{array}$

将下式代入上式得：$2y-8x-10y+16=0⟹-8y-8x+16=0⟹x+y=2$。

由 $y=2-x$ 代入 $x^2+y^2=2y$ 得：

$x^2+(2-x{)}^2=2(2-x)$

$x^2+4-4x+x^2=4-2x$

$2x^2-2x=0⟹2x(x-1)=0$。

解得 $\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ y_1=2\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}{x}_2=1\\ y_2=1\end{array}$。

转化为极坐标：

• 对于 $(0,2)$：$\rho =\sqrt{0^2+2^2}=2$，$\tan \theta$ 不存在且 $y>0$，故 $\theta =\frac{\pi }{2}$。极坐标为 $(2,\frac{\pi }{2})$。

• 对于 $(1,1)$：$\rho =\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$\tan \theta =1$ 且在第一象限，故 $\theta =\frac{\pi }{4}$。极坐标为 $(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$。

所以 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的极坐标为 $(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ 和 $(2,\frac{\pi }{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标的互化公式是本模块的基石。

核心方法：直角坐标中转法。求交点或处理复杂的极坐标方程时，先化为直角坐标方程通常能利用已有的解析几何知识简化计算。

避坑指南：- 第一问化简时，常数项 $16$ 不要漏掉。 - 第二问转化回极坐标时，务必根据 $(x,y)$ 所在的象限准确确定极角 $\theta$ 的值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标下两点间的距离公式、极坐标下的直线方程。

结论推广：$\rho =2a\sin \theta$ 表示圆心在 $y$ 轴上且过原点的圆；$\rho =2a\cos \theta$ 表示圆心在 $x$ 轴上且过原点的圆。

方法推广：参数方程中，若含有 $\sin ,\cos$，通常利用平方关系消参；若含有 $t$，通常利用代入法消参。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程