2013-新课标II卷理-18 解-线面平行

本题导读

本题考查直线与平面。核心在于几何证明法、综合几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 18. 如图，直棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$D,E$ 分别是 $AB,B{B}_1$ 的中点，$A{A}_1=AC=CB=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$.

(1)证明：$B{C}_1//$ 平面 $A_{1}CD$；

(2)求二面角 $D-A_{1}C-E$ 的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面平行）：
   • 要证明 $B{C}_1//$ 平面 $A_{1}CD$，只需在平面 $A_{1}CD$ 内找到一条直线与 $B{C}_1$ 平行。
   • 利用中点特征，连结 $A{C}_1$ 交 $A_{1}C$ 于点 $F$。由于侧面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 是矩形，$F$ 为 $A{C}_1$ 中点。
   • 在 $△AB{C}_1$ 中，$D,F$ 分别是 $AB,A{C}_1$ 的中点，利用中位线定理即可证明。
2. 第二问（二面角）：
   • 几何法：首先证明 $CD\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。这有助于确定平面间的垂直关系。
   • 通过计算得出 $△A_{1}DE$ 是直角三角形，进而发现 $DE$ 垂直于平面 $A_{1}DC$。
   • 过 $D$ 作 $DF\perp A_{1}C$，连结 $EF$，则 $\angle DFE$ 为二面角的平面角。
   • 坐标法（备选）：以 $D$ 为原点，建立空间直角坐标系，通过法向量夹角公式求解。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 连结 $A{C}_1$ 交 $A_{1}C$ 于点 $F$。 因为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 为直棱柱，所以侧面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 是平行四边形（矩形）。 因此，$F$ 为 $A{C}_1$ 的中点。 在 $△AB{C}_1$ 中，$D$ 是 $AB$ 的中点，$F$ 是 $A{C}_1$ 的中点， 所以 $DF//B{C}_1$。 又因为 $DF\subset$ 平面 $A_{1}CD$，$B{C}_1\not\subset$ 平面 $A_{1}CD$， 所以 $B{C}_1//$ 平面 $A_{1}CD$。

（Ⅱ）解： 因为 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，$CD\subset$ 平面 $ABC$，所以 $A{A}_1\perp CD$。 又 $AC=CB$ 且 $D$ 是 $AB$ 中点，所以 $CD\perp AB$。 因为 $A{A}_1\cap AB=A$，所以 $CD\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。

设 $AB=2\sqrt{2}$，则根据已知条件 $A{A}_1=AC=CB=2$。 在 $Rt△ADC$ 中，$AD=\sqrt{2}$，$AC=2$，可求得 $CD=\sqrt{2}$。 在 $Rt△AD{A}_1$ 中，$A_{1}D=\sqrt{A{D}^2+A{A}_1^2}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}$。 在 $Rt△BDE$ 中，$BD=\sqrt{2}$，$BE=1$，可求得 $DE=\sqrt{3}$。 在 $Rt△A_1{B}_{1}E$ 中，$A_1{B}_1=2\sqrt{2}$，$B_{1}E=1$，可求得 $A_{1}E=3$。 因为 $A_1{D}^2+D{E}^2=6+3=9=A_1{E}^2$，所以 $DE\perp A_{1}D$。 又 $DE\perp CD$（由 $CD\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$ 可知），所以 $DE\perp$ 平面 $A_{1}DC$。

过 $D$ 作 $DF\perp A_{1}C$ 于 $F$，连结 $EF$。 由三垂线定理知 $EF\perp A_{1}C$，故 $\angle DFE$ 为二面角 $D-A_{1}C-E$ 的平面角。 在 $Rt△A_{1}DC$ 中，$DF=\frac{A_{1}D\cdot DC}{A_{1}C}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 在 $Rt△EDF$ 中，$EF=\sqrt{D{E}^2+D{F}^2}=\sqrt{3+\frac{6}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。 所以 $\sin \angle DFE=\frac{DE}{EF}=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

故二面角 $D-A_{1}C-E$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定定理；二面角的几何法求解步骤（找、证、算）。

核心方法：利用三角形中位线是证明线线平行的经典手段。求解二面角时，若能发现某一侧棱（或连线）垂直于另一个平面，能极大简化平面角的寻找过程。

避坑指南：计算线段长度时务必准确，尤其是 $AC=CB$ 在底面三角形中蕴含的垂直关系不可忽略。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面角、体对角线长公式。

结论推广：在直棱柱中，底面的高往往垂直于整个侧面，这是寻找线面垂直关系的突破口。

方法推广：坐标法虽然计算量大，但思路固定（求两个平面的法向量 $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$，利用 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}$），在几何法受阻时是强力补充。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离
• 2014-四川卷文-18 解-线面垂直与平行