2013-江西卷文-03 单-二倍角求值

本题导读

本题考查二倍角公式，以及同角三角函数的基本关系。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 若 $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\cos \alpha =$()

A. $-\frac{2}{3}$　　　　　　B. $-\frac{1}{3}$　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　D. $\frac{2}{3}$

🔍【思路分析】

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1. ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{1}{3}$。
2. $\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式的变形（降幂公式） $\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2},$ 将 $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入： $\cos \alpha =1-2\times \frac{3}{9}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}.$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式（降幂）求值

核心方法：$\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=1-2\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

避坑指南：看到”半角正弦”求”整角余弦”，直接用降幂公式 $\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$，不必先求 $\sin \frac{\alpha }{2}$ 的角；若去开方求 $\cos \frac{\alpha }{2}$ 反而要讨论符号，多此一举。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角三角函数关系与二倍角降幂（半角值求整角）。

结论推广：降幂公式一步到位。

方法推广：识别 $\frac{\alpha }{2}$ 与 $\alpha$ 的倍角关系 → 套 $\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换
• 2013-浙江卷文-06 单-三角周期振幅