2013-江西卷理-18 解-分布列

本题导读

本题考查随机变量及其分布。核心在于列举法、坐标运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以 $O$ 为起点，再从 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ （如图）这 8 个点中任取两点分别作为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 $X$ .若 $X = 0$ 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.

(1)求小波参加学校合唱团的概率；

(2)求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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确定向量坐标：根据图形建立直角坐标系（图中已给出），列出 8 个点的坐标： $A_{1} (1, 0), A_{2} (1, 1), A_{3} (0, 1), A_{4} (- 1, 1), A_{5} (- 1, 0), A_{6} (- 1, - 1), A_{7} (0, - 1), A_{8} (1, - 1)$ 。

计算所有组合的数量积：从 8 个点中任取 2 个点，总组合数为 $C_{8}^{2} = 28$ 。需列举出所有可能的 $O A_{i} \cdot O A_{j}$ 。

解答第一问：统计数量积 $X = 0$ 的组合数，利用古典概型公式计算概率。

解答第二问：列出 $X$ 的所有可能取值（ $- 2, - 1, 0, 1$ ），统计各取值出现的次数，列出分布列并求期望。

✅【答案】

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$X = 1$ ； $X = - 1$ ； $X = - 2$ ； $X = 0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 从 8 个点中任取两点的总取法共有 $C_{8}^{2} = 28$ 种。设两点分别为 $A_{i} (x_{i}, y_{i})$ 和 $A_{j} (x_{j}, y_{j})$ ，数量积 $X = x_{i} x_{j} + y_{i} y_{j}$ 。要使 $X = 0$ ，即两向量垂直。观察坐标可知垂直的情况有：

坐标轴上的点相互垂直： $(A_{1}, A_{3}), (A_{3}, A_{5}), (A_{5}, A_{7}), (A_{7}, A_{1})$ ，共 4 种。

相邻象限角平分线上的点垂直： $(A_{2}, A_{4}), (A_{4}, A_{6}), (A_{6}, A_{8}), (A_{8}, A_{2})$ ，共 4 种。总计 $X = 0$ 的情况有 $4 + 4 = 8$ 种。故小波参加学校合唱团的概率 $P (X = 0) = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$ 。

（2）解： 由题意，变量 $X$ 的可能取值情况如下：

$X = 1$ ： $(A_{1}, A_{2}), (A_{2}, A_{3}), (A_{3}, A_{4}), (A_{4}, A_{5}), (A_{5}, A_{6}), (A_{6}, A_{7}), (A_{7}, A_{8}), (A_{8}, A_{1})$ 。共 8 种。故 $P (X = 1) = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$ 。

$X = - 1$ ： $(A_{1}, A_{4}), (A_{1}, A_{6}), (A_{2}, A_{5}), (A_{2}, A_{7}), (A_{3}, A_{6}), (A_{3}, A_{8}), (A_{4}, A_{7}), (A_{4}, x_{1} ?), (A_{5}, A_{8}), (A_{5}, A_{2})$ 等。实质为夹角为 $13 5^{\circ}$ 或 $31 5^{\circ}$ 的组合。列举： $(A_{1}, A_{4}), (A_{1}, A_{6}), (A_{2}, A_{5}), (A_{2}, A_{7}), (A_{3}, A_{6}), (A_{3}, A_{8}), (A_{4}, A_{7}), (A_{4}, A_{1}), (A_{5}, A_{8}), (A_{5}, A_{2})$ 。去重统计共 10 种。故 $P (X = - 1) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ 。

$X = - 2$ ：共线且反向： $(A_{2}, A_{6}), (A_{4}, A_{8})$ 。共 2 种。故 $P (X = - 2) = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$ 。

$X = 0$ ：由（1）知共 8 种。故 $P (X = 0) = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}$ 。（注： $X = - 1$ 也包含 $A_{1} \cdot A_{5} = - 1$ 等坐标轴对称点。检查总数： $8 + 10 + 2 + 8 = 28$ ，正确。）

$X$ 的分布列如下：

$X$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$
$P$ $\frac{1}{14}$ $\frac{5}{14}$ $\frac{4}{14}$ $\frac{4}{14}$

数学期望： $E (X) = - 2 \times \frac{1}{14} + (- 1) \times \frac{5}{14} + 0 \times \frac{4}{14} + 1 \times \frac{4}{14} = \frac{- 2 - 5 + 0 + 4}{14} = - \frac{3}{14}$ 。

$X$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$P$	$\frac{1}{14}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{4}{14}$	$\frac{4}{14}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的坐标表示 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 。 2. 易错点：在统计 $X$ 的取值种类时容易漏掉或重复。建议按点与点之间的“间隔步长”来分类（如步长为 1, 2, 3, 4）。

核心方法：见详细解析

避坑指南：分布列写完后，务必检查概率之和是否等于 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量数量积的坐标表示 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ 。 2. 易错点：在统计 $X$ 的取值种类时容易漏掉或重复。建议按点与点之间的“间隔步长”来分类（如步长为 1, 2, 3, 4）。

结论推广：这种分布在正多边形顶点取点问题中非常常见，本质是考察向量夹角的余弦值分布。

方法推广：对于复杂的列举问题，可以固定一个点，按顺时针方向计算与其他点的积，最后除以 2（因为是组合非排列）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

09.03 平面向量的数量积

09.01 平面向量基本概念

23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

2026-上海卷-08 填-分布列

2026-新高考I卷-17 解-概率分布

2025-新高考I卷-14 填-概率分布

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