2013-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质。核心在于待定系数法、几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 21. 如图，点 $P(0,-1)$ 是椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的一个顶点，$C_1$ 的长轴是圆 $C_2:x^2+y^2=4$ 的直径.$l_1,l_2$ 是过点 $P$ 且互相垂直的两条直线，其中 $l_1$ 交圆 $C_2$ 于两点 $A,B$，$l_2$ 交椭圆 $C_1$ 于另一点 $D$.

(1)求椭圆 $C_1$ 的方程；

(2)求 $△ABD$ 面积获取最大值时直线 $l_1$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

• 第一问：由 $P(0,-1)$ 是顶点知 $b=1$。圆的半径为 $2$，直径为 $4$，故 $2a=4$，求得 $a$。
• 第二问：
  1. 设线分析：由于 $l_1,l_2$ 垂直且过 $P$，设 $l_1:y=kx-1$，则 $l_2:x+ky+k=0$。
  2. 求弦长 $AB$：利用点到直线的距离公式求出圆心到 $l_1$ 的距离 $d$，根据勾股定理 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$。
  3. 求高 $PD$：联立 $l_2$ 与椭圆方程，求出 $D$ 点坐标，利用两点间距离公式表示 $|PD|$。
  4. 求最值：面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot |PD|$。化简后形式符合基本不等式 $t+\frac{1}{t}$ 的结构，从而求出 $k$。

✅【答案】

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故椭圆 $C_1$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。；故直线 $l_1$ 的方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}x-1$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意，$P(0,-1)$ 是椭圆 $C_1$ 的一个顶点，且 $a>b>0$，所以 $P$ 为短轴顶点，得 $b=1$。 圆 $C_2:x^2+y^2=4$ 的半径 $R=2$，直径为 $4$。 因为椭圆 $C_1$ 的长轴是圆 $C_2$ 的直径，所以 $2a=4⟹a=2$。 故椭圆 $C_1$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

（Ⅱ）解： 由题意可知直线 $l_1$ 的斜率存在且不为 $0$。设 $l_1$ 的斜率为 $k$，则 $l_1:y=kx-1$。 圆 $C_2$ 的圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l_1:kx-y-1=0$ 的距离： $d=\frac{|-1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$ 弦长 $|AB|=2\sqrt{2^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{k^2+1}}=2\sqrt{\frac{4k^2+3}{k^2+1}}$。

因为 $l_2\perp l_1$ 且过 $P(0,-1)$，所以 $l_2:x+ky+k=0$（或 $y=-\frac{1}{k}x-1$）。 联立 $l_2$ 与椭圆 $C_1$： $\{\begin{array}{l}x=-k(y+1)\\ x^2+4y^2=4\end{array}$ 消去 $x$ 得 $[-k(y+1){]}^2+4y^2=4⟹(k^2+4)y^2+2k^{2}y+k^2-4=0$。 由于 $P(0,-1)$ 在曲线上，$y=-1$ 是一根，由韦达定理： $(-1)\cdot y_D=\frac{k^2-4}{k^2+4}⟹y_D=\frac{4-k^2}{k^2+4}$。 代入 $l_2$ 得 $x_D=-k(\frac{4-k^2}{k^2+4}+1)=-\frac{8k}{k^2+4}$。 根据两点间距离公式： $|PD|=\sqrt{x_D^2+(y_D+1{)}^2}=\sqrt{(-\frac{8k}{k^2+4}{)}^2+(\frac{8}{k^2+4}{)}^2}=\frac{8\sqrt{k^2+1}}{k^2+4}$

$△ABD$ 的面积 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot |PD|$： $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{\frac{4k^2+3}{k^2+1}}\cdot \frac{8\sqrt{k^2+1}}{k^2+4}=\frac{8\sqrt{4k^2+3}}{k^2+4}$ 令 $\sqrt{4k^2+3}=t$ ($t>\sqrt{3}$)，则 $k^2=\frac{t^2-3}{4}$。 代入 $S$ 得： $S=\frac{8t}{\frac{t^2-3}{4}+4}=\frac{32t}{t^2+13}=\frac{32}{t+\frac{13}{t}}$ 根据基本不等式，$t+\frac{13}{t}\ge 2\sqrt{13}$，当且仅当 $t=\sqrt{13}$ 时 $S$ 最大。 此时 $4k^2+3=13⟹k^2=\frac{10}{4}⟹k=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$。

故直线 $l_1$ 的方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}x-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的弦长公式（勾股定理优于韦达定理）；直线与椭圆的交点（利用韦达定理和已知根简化计算）；面积函数最值。

核心方法：“换元+基本不等式”。在解析几何最后一步求最值时，将复杂的根式部分设为整体变量 $t$，往往能构造出简单的分式函数模型。

避坑指南：联立方程后，利用 $P(0,-1)$ 是方程的一个解，可以极大地缩短解方程组的时间。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线的垂径定理、二次函数在闭区间上的最值。

结论推广：在解析几何中，若两直线垂直且交点在曲线上，利用斜率乘积 $-1$ 结合点差法或联立方程是标准套路。

方法推广：面积最大值问题除了基本不等式，有时也可考虑导数法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆