2013-湖北卷文-10 单-对数函数极值点

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值，以及函数与方程。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)=x(\ln x-ax)$ 有两个极值点，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,0)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right)$　　　　C. $(0,1)$　　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=\ln x+1-2ax$（$x>0$）。
2. 两极值点 ⟺ $\frac{\ln x+1}{x}=2a$ 有两解。$h\acute{=}\frac{-\ln x}{x^2}$ → $h$ 在 $(0,1)$ 增、$(1,+\infty )$ 减，$h(1)=1$，且 $h(0^{+})=-\infty$，$h(+\infty )=0^{+}$。
3. 两解 ⟺ $0<2a<1$ → $0<a<\frac{1}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

（B）

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=x\ln x-a{x}^2$（$x>0$），求导： $f\acute{(}x)=\ln x+1-2ax.$ $f$ 有两个极值点 ⟺ f\' 在 $(0,+\infty )$ 内有两个变号零点，即方程 $2a=\frac{\ln x+1}{x}$ 有两个解。 设 $h(x)=\frac{\ln x+1}{x}$，则 $h\acute{(}x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-(\ln x+1)}{x^2}=\frac{-\ln x}{x^2},$ 故 $h$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减，$h_{\max }=h(1)=1$。 又 $x\to 0^{+}$ 时 $h\to -\infty$，$x\to +\infty$ 时 $h\to 0^{+}$。 所以 $y=h(x)$ 与 $y=2a$ 有两个交点 ⟺ $0<2a<1$，即 $0<a<\frac{1}{2}.$ （$2a=1$ 时相切于 $x=1$，只有一个极值点，不符。） 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数极值点个数（分离参数）

核心方法：$f^{\prime }(x)=\ln x+1-2ax$，两个极值点 ⟺ $h(x)=\frac{\ln x+1}{x}$ 有两个零点的对应解：$h$ 在 $(0,1)$ 增、$(1,+\infty )$ 减，$h_{\max }=h(1)=1$ → $0<2a<1$ → $0<a<\frac{1}{2}$

避坑指南：极值点 = f\' 的变号零点——把 $2a=\frac{\ln x+1}{x}$ 分离后研究 $h$ 的图象：$h(1)=1$ 是最大值（别把极值点记成 $e$，$h\acute{=}\frac{-\ln x}{x^2}$ 的零点是 $1$）；$2a=1$ 时两解合一（重根不变号，只有一个极值点），端点要挖去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究极值点个数（分离参数 + 最值定参，湖北卷压轴选择题）。

结论推广：分离参数 $2a=h(x)$；$h^{\prime }$ 定单调区间与最大值。

方法推广：求导 → 分离参数 → 研究 $h(x)$ 图象 → 由两解条件定 $a$ 范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小
• 2013-福建卷文-22 解-导数极值与交点
• 2013-安徽卷文-10 单-极值复合零点