2013-湖北卷理-15 填-圆的性质

本题导读

本题考查圆，以及圆的性质。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） （选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆 $O$ 上一点 $C$ 在直径 $AB$ 上的射影为 $D$，点 $D$ 在半径 $OC$ 上的射影为 $E$.若 $AB=3AD$，则 $\frac{CE}{EO}$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化已知条件：设 $AD=1$，则 $AB=3$。由此可以得出圆的半径 $R=\frac{3}{2}$，圆心 $O$ 满足 $AO=\frac{3}{2}$。进而求出 $DO$ 的长度。
2. 利用射影定理/勾股定理求 $CD$：在 $Rt△ODC$ 中，已知 $OC$（半径）和 $OD$，可求出 $CD$。
3. 在 $Rt△ODC$ 中二次应用射影定理：
   • $CD$ 在斜边 $OC$ 上的射影为 $CE$。根据射影定理：$C{D}^2=CE\cdot CO$。
   • $OD$ 在斜边 $OC$ 上的射影为 $EO$。根据射影定理：$O{D}^2=EO\cdot CO$。
4. 求比值：$\frac{CE}{EO}=\frac{C{D}^2}{O{D}^2}$，代入计算即可。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设定参数并计算基础线段 设 $AD=1$，则根据条件 $AB=3AD$，得 $AB=3$。 由于 $AB$ 为直径，故半径 $R=OC=OA=OB=\frac{3}{2}=1.5$。 在直径 $AB$ 上，$DO=AO-AD=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。

第二步：求 $C{D}^2$ 在 $Rt△ODC$ 中（$CD\perp AB$），由勾股定理： $C{D}^2=O{C}^2-D{O}^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=2$

第三步：利用射影定理建立比例 在 $Rt△ODC$ 中，$DE\perp OC$。根据射影定理的推论（直角边是其在斜边上射影与斜边的比例中项）：

1. 对于直角边 $CD$：$C{D}^2=CE\cdot OC$
2. 对于直角边 $OD$：$O{D}^2=EO\cdot OC$

第四步：求比值 $\frac{CE}{EO}=\frac{C{D}^2/OC}{O{D}^2/OC}=\frac{C{D}^2}{O{D}^2}$ 代入数值： $\frac{CE}{EO}=\frac{2}{(1/2{)}^2}=\frac{2}{1/4}=8$

故答案为：8。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：射影定理及其变形。即在直角三角形中，$a^2=p\cdot c$，$b^2=q\cdot c$。 2. 核心技巧：“赋值法”。在求比例关系的题目中，给其中一个变量赋特定值（如 $AD=1$）能极大简化运算逻辑，避免繁琐的字母推导。

核心方法：见详细解析

避坑指南：分清射影的对应关系。$CE$ 是 $CD$ 的射影，$EO$ 是 $OD$ 的射影，千万不要放反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆幂定理、相似三角形的性质。

结论推广：若 $AB=n\cdot AD$，则 $\frac{CE}{EO}=(n-1{)}^2-1=n^2-2n$（此处计算需严谨，本题 $n=3$，结果为 $3^2-2(3)=3$？不对，应回代公式推导）。 - 重新推导：$\frac{CE}{EO}=\frac{R^2-d^2}{d^2}=(\frac{R}{d}{)}^2-1$。 - 本题 $R=1.5,d=0.5$，…

方法推广：见详细解析

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