2013-湖北卷理-16 填-椭圆的参数方程与标准方程

本题导读

本题考查椭圆，以及椭圆的参数方程与标准方程。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） （选修4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a\cos \varphi \\ y=b\sin \varphi \end{array}$（$\varphi$ 为参数，$a>b>0$）.在以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标方程分别为 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}m$（$m$ 为非零常数）与 $\rho =b$.若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化方程：
   • 椭圆 $C$：其标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
   • 直线 $l$：展开 $\rho \sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\rho \left(\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\rho \sin \theta +\rho \cos \theta )$。令 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，化简得 $x+y=m$。
   • 圆 $O$：其方程为 $x^2+y^2=b^2$。
2. 利用“切”的条件：直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，则圆心 $(0,0)$ 到直线 $x+y-m=0$ 的距离 $d=r=b$。建立 $b,m$ 关系。
3. 利用“经”的条件：直线 $l$ 经过椭圆焦点 $(c,0)$（或 $(-c,0)$，由对称性不影响结果），代入直线方程建立 $c,m$ 关系。
4. 计算离心率：利用 $a^2=b^2+c^2$ 和 $e=\frac{c}{a}$ 求解。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化极坐标方程为直角坐标方程 直线 $l$：$\rho \sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\rho \cos \theta \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}m$ $⟹\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}x=\frac{\sqrt{2}}{2}m⟹x+y=m$。 圆 $O$：$\rho =b⟹x^2+y^2=b^2$。

第二步：利用相切条件确定 $b$ 直线 $l:x+y-m=0$ 与圆 $x^2+y^2=b^2$ 相切， 由点到直线距离公式：$b=\frac{|0+0-m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|m|}{\sqrt{2}}⟹b^2=\frac{m^2}{2}$。

第三步：利用焦点条件确定 $c$ 椭圆焦点为 $(\pm c,0)$。由直线 $l$ 过焦点，代入 $x+y=m$ 得： $c+0=m⟹c=m$（此处取正焦点，若取负则 $m$ 变号，平方后结论一致）。 则 $c^2=m^2$。

第四步：计算离心率 $e$ 由椭圆性质：$a^2=b^2+c^2=\frac{m^2}{2}+m^2=\frac{3}{2}{m}^2$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}$： $e^2=\frac{m^2}{\frac{3}{2}{m}^2}=\frac{2}{3}$ $e=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：展开直线极坐标方程时要注意辅助角公式的准确性。离心率必须满足 $0<e<1$，计算结果 $\frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0.816$ 符合逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：若直线斜率为 $k$，则圆心到直线距离公式的运用更为普遍。

方法推广：对于选修部分题目，统一坐标系是第一要务。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程
• 2013-广东卷文-09 单-椭圆标准方程