2013-湖北卷理-18 解-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列。核心在于待定系数法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足：$|a_2-a_3|=10$，$a_1{a}_2{a}_3=125$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)是否存在正整数 $m$，使得 $\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_m}>1$？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求通项）：
   • 核心性质：等比数列中 $a_1{a}_3=a_2^2$。结合 $a_1{a}_2{a}_3=125$，可解得 $a_2^3=125⟹a_2=5$。
   • 建立方程：由 $|a_2-a_3|=10$，代入 $a_2=5,a_3=5q$，得 $|5-5q|=10$。解出公比 $q$。
   • 计算首项：由 $a_1=\frac{a_2}{q}$ 得到不同情况下的首项，写出通项。
2. 第二问（存在性判定）：
   • 构造新数列：倒数数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ 仍为等比数列，首项为 $\frac{1}{a_1}$，公比为 $\frac{1}{q}$。
   • 分类计算和：针对第一问求出的两种 $q$ 值分别求前 $m$ 项和 $S_m$。
   • 判定最大值：若 $q<0$，求和值往往在正负间摆动或趋于常数；若 $q>0$，利用等比数列求和公式寻找 $S_m$ 的上界（极限值），看是否能超过 1。

✅【答案】

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综上所述，不存在满足条件的正整数 $m$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 因为 $a_1,a_2,a_3$ 成等比数列，所以 $a_1{a}_3=a_2^2$。 由 $a_1{a}_2{a}_3=125$ 得 $a_2^3=125$，故 $a_2=5$。 又由 $|a_2-a_3|=10$ 得 $|5-5q|=10$，即 $|1-q|=2$。 解得 $q=-1$ 或 $q=3$。

• 当 $q=-1$ 时，$a_1=\frac{a_2}{q}=-5$，通项公式为 $a_n=-5\cdot (-1{)}^{n-1}$；
• 当 $q=3$ 时，$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{5}{3}$，通项公式为 $a_n=\frac{5}{3}\cdot 3^{n-1}=5\cdot 3^{n-2}$。

（Ⅱ）解： 设 $S_m=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_m}$。

1. 若 $q=-1$： 数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ 为 $-\frac{1}{5},\frac{1}{5},-\frac{1}{5},\dots$。 当 $m$ 为偶数时，$S_m=0$；当 $m$ 为奇数时，$S_m=-\frac{1}{5}$。 可知对任意正整数 $m$，都有 $S_m\le 0<1$。

2. 若 $q=3$： 数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ 是首项为 $\frac{3}{5}$，公比为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列。 $S_m=\frac{\frac{3}{5}[1-(\frac{1}{3}{)}^m]}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{2}[1-(\frac{1}{3}{)}^m]=\frac{9}{10}[1-(\frac{1}{3}{)}^m]$ 因为 $1-(\frac{1}{3}{)}^m<1$，所以 $S_m<\frac{9}{10}\times 1=0.9$。 故对任意正整数 $m$，都有 $S_m<1$。

综上所述，不存在满足条件的正整数 $m$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的参数求解与有界性判定。 2. 核心技巧： - 中项法：处理连续三项乘积时，优先转化为中间项的立方。 - 有界性思维：等比数列的和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ 在 $|r|<1$ 时收敛于 $\frac{a}{1-r}$。本题中 $0.9<1$ 是判断不存在的核心论据。

核心方法：见详细解析

避坑指南：第一问不要漏掉绝对值符号拆解后的两种情况；第二问必须针对两种通项分别进行严谨说明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的参数求解与有界性判定。 2. 核心技巧： - 中项法：处理连续三项乘积时，优先转化为中间项的立方。 - 有界性思维：等比数列的和 ${\sum }_{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$ 在 $|r|<1$ 时收敛于 $\frac{a}{1-r}$。本题中 $0.9<1$ 是判断不存在的核心论据。

结论推广：若数列首项 $a_1$ 增大或公比 $q$ 减小（且大于 1），求和结果才可能超过 1。

方法推广：对于“是否存在”类问题，通常先代入公式化简，再利用单调性求最值或利用极限思想看取值范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型
• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

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• 2026-新高考II卷-10 多-等比数列
• 2026-上海卷-02 填-等比数列