2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、面积公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 如图，已知椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的中心原点坐标为 $O$，长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2m,2n$ ($m>n$).过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_1,C_2$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A,B,C,D$.记 $\lambda =\frac{m}{n}$，$△BDM$ 和 $△ABN$ 的面积分别为 $S_1,S_2$.

(1)当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_1=\lambda S_2$，求 $\lambda$ 的值；

(2)当 $\lambda$ 变化时，是否存在不与坐标轴重合的直线 $l$，使得 $S_1=\lambda S_2$，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立方程：设 $M(-a,0),N(a,0)$。由题意设椭圆方程： $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{m^2}=1$，$C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$。
2. 第一问（特殊位置）： 直线 $l$ 为 $y$ 轴时，交点坐标直接可得。将 $S_1,S_2$ 用底乘高表示。利用面积比等于 $\lambda$ 建立关于 $\lambda$ 的二次方程求解。
3. 第二问（一般位置）：
   • 面积转化：点 $M,N$ 到直线 $l$ 的距离相等（设为 $d$）。则 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{|BD|d}{|AB|d}=\frac{|BD|}{|AB|}$。条件转化为 $\frac{|BD|}{|AB|}=\lambda$。
   • 比例关系：利用对称性（$O$ 为中点）可推导出 $\frac{|AD|}{|BC|}=\frac{\lambda +1}{\lambda -1}$。
   • 联立求坐标：设直线 $l:y=kx$，将其分别与 $C_1,C_2$ 联立，求出 $A,B$ 点的横坐标 $x_A,x_B$。
   • 方程构建：由几何比例关系建立含 $\lambda ,k,a,m,n$ 的等式。
   • 存在性判定：解出 $k^2$ 的表达式，讨论其大于 0 的条件，从而确定 $\lambda$ 的范围。

✅【答案】

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$1+\sqrt{2}$；$\lambda >1+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

由题意可设椭圆方程为 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{m^2}=1$，$C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$。其中 $a>m>n>0$。 当直线 $l$ 为 $y$ 轴时，其方程为 $x=0$。 交点坐标为 $A(0,m),B(0,n),C(0,-n),D(0,-m)$。 则 $|BD|=n-(-m)=m+n$， $|AB|=m-n$。 三角形面积 $S_1=\frac{1}{2}|BD|\cdot |OM|=\frac{1}{2}(m+n)a$，$S_2=\frac{1}{2}|AB|\cdot |ON|=\frac{1}{2}(m-n)a$。 若 $S_1=\lambda S_2$，则 $\frac{m+n}{m-n}=\lambda$。 由于 $\lambda =\frac{m}{n}$，代入得 $\frac{\lambda n+n}{\lambda n-n}=\lambda ⟹\frac{\lambda +1}{\lambda -1}=\lambda$。 整理得 ${\lambda }^2-\lambda =\lambda +1⟹{\lambda }^2-2\lambda -1=0$。 解得 $\lambda =1+\sqrt{2}$ 或 $\lambda =1-\sqrt{2}$（舍去）。 故 $\lambda$ 的值为 $1+\sqrt{2}$。

（Ⅱ）解：是否存在性说明：

假设存在符合条件的直线 $l:y=kx$ ($k\ne 0$)。 由对称性，$M(-a,0)$ 和 $N(a,0)$ 到直线 $l$ 的距离相等，设为 $d$。 则 $S_1=\frac{1}{2}|BD|\cdot d,S_2=\frac{1}{2}|AB|\cdot d$。 故 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{|BD|}{|AB|}=\lambda$。 同（Ⅰ）中推导，由对称性 $|AB|=|CD|$，可得 $\frac{|AD|}{|BC|}=\frac{\lambda +1}{\lambda -1}$ ①。

联立 $y=kx$ 与椭圆方程可得： $x_A=\frac{am}{\sqrt{m^2+a^2{k}^2}}$, $x_B=\frac{an}{\sqrt{n^2+a^2{k}^2}}$。 由对称性 $x_D=-x_A,x_C=-x_B$。 代入距离公式比例：$\frac{|AD|}{|BC|}=\frac{x_A-x_D}{x_B-x_C}=\frac{2x_A}{2x_B}=\frac{m\sqrt{n^2+a^2{k}^2}}{n\sqrt{m^2+a^2{k}^2}}$ ②。 令 $t=\frac{\lambda +1}{\lambda (\lambda -1)}$，由 ①② 联立整理可求得： $k^2=\frac{n^2({\lambda }^2{t}^2-1)}{a^2(1-t^2)}$。

要使直线 $l$ 存在且不与坐标轴重合，需 $k^2>0$。 经过讨论，此不等式组有解的充要条件是 $\frac{1}{\lambda }<t<1$。 代入 $t$ 的表达式解得：$\lambda >1+\sqrt{2}$。

结论： 当 $1<\lambda \le 1+\sqrt{2}$ 时，不存在； 当 $\lambda >1+\sqrt{2}$ 时，存在满足条件的直线 $l$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与直线的综合位置关系，以及对存在性问题的参数范围讨论。

核心方法：“几何问题代数化”。将面积比转化为线段比，再转化为坐标比，是此类复杂解析几何题的标准套路。

避坑指南：计算 $k^2$ 表达式及其符号讨论极其繁琐，需保持冷静。注意 $\lambda >1$ 是前提条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：阿波罗尼斯圆、仿射变换在解析几何中的应用。

结论推广：若椭圆不是共长轴而是相似椭圆（离心率相等），结论会有所不同。

方法推广：“几何问题代数化”。将面积比转化为线段比，再转化为坐标比，是此类复杂解析几何题的标准套路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.01 函数的概念
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆